# 1.6两个重要极限

## 阅读入口

* [正弦的重要极限](/knowledge/maths/limits/important-limits/)
* [自然常数的重要极限](/knowledge/maths/limits/exponential-limit/)
* [极限的四则运算与比较法则](/knowledge/maths/limits/limit-laws/)
* [等价无穷小](/knowledge/maths/limits/equivalent-infinitesimals/)

## 两个重要极限

当 $x$ 以弧度表示并趋近 $0$ 时，$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。这里极限只考察 $x\ne0$ 的取值。

[来源：正弦的重要极限](/knowledge/maths/limits/important-limits/#definition)

当 $x\to\infty$ 时，$\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x=e$。等价地，当 $t\to0$ 时，$(1+t)^{1/t}\to e$，其中 $t$ 取使表达式有实数意义的非零值。

[来源：自然常数的重要极限](/knowledge/maths/limits/exponential-limit/#definition)

第一个结论在1.7会以 $\sin x\sim x$ 的形式再次出现，但用法不同：这里要求结构完全一致，等价无穷小则允许在乘除中替换因子。

## 学习安排

两个重要极限承接四则运算法则：第一个给出 $\dfrac{0}{0}$ 型三角函数极限的处理方式，第二个给出 $1^\infty$ 型的标准结果。两者都是计算模板，下一节等价无穷小中的 $\sin x\sim x$ 是第一个极限的另一种写法。

复习时先判断类型再套模板：$\dfrac{0}{0}$ 型且出现 $\sin$ 才考虑第一个，$1^\infty$ 型才考虑第二个，其余类型先变形。这样能避免看到 $\sin$ 或不等于 $1$ 的底数就往公式上套。

## 课程约定

* 模板中的方框 $\square$ 表示同一个变量或表达式。套用时必须同时满足“分子分母（或底数与指数）使用同一个 $\square$”和“$\square$ 按对应方式趋近”两个条件。
* 第二个重要极限在本课程中优先使用 $\lim_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$ 的形式，因为后续的等价无穷小与泰勒展开都在 $t\to0$ 下讨论。
* 变形时只调整系数与指数，不改变整体结构：例如 $\dfrac{\sin 3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}$，$\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x=\left[\left(1+\dfrac{1}{x/2}\right)^{x/2}\right]^2$。

## 易错点

* 只看到 $\sin$ 就套第一个极限。分子必须是分母对应的正弦；$\dfrac{\sin x}{x^2}$ 不符合结构，不能直接得 $1$。
* 把 $1^\infty$ 直接当成 $1$。底数趋于 $1$、指数趋于无穷时，结果是 $e$ 的某次幂，不是 $1$。
* $\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x$ 直接写成 $e$。指数上的倍率要一起调整，结果是 $e^2$。
* 混用两种趋近方式：$\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$ 是 $x\to\infty$，$(1+t)^{\frac{1}{t}}$ 是 $t\to0$，换元前后不要混写。

## 复习要点

判断用哪一个：先看是不是 $\dfrac{0}{0}$ 型并含 $\sin$（第一个），再看是不是 $1^\infty$ 型（第二个）。套用前先写清楚 $\square$ 是什么、它趋于多少，再核对结构是否真的与模板一致。