# 1.7等价无穷小

## 阅读入口

* [等价无穷小](/knowledge/maths/limits/equivalent-infinitesimals/)
* [正弦的重要极限](/knowledge/maths/limits/important-limits/)
* [极限的四则运算与比较法则](/knowledge/maths/limits/limit-laws/)

## 基本等价与替换原则

### 基本等价

这组关系是极限计算的基础，需要熟练记忆。它们都可以由泰勒展开取最低阶非零项得到。

| 类别     | 等价关系（$x\to 0$）                      | 说明                                                                                                   |
| ------ | ----------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| 幂函数类   | $x\sim\sin x\sim\tan x$             | 三角函数与自变量等价，是最常用的替换（如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{x}=2$）                                           |
| 指数函数类  | $e^x-1\sim x$                       | 核心是“指数减1”的形式；底数不是 $e$ 时可变形为 $a^x-1\sim x\ln a$（$a>0$，$a\ne 1$）                                       |
| 对数函数类  | $\ln(1+x)\sim x$                    | 核心是“$\ln(1+\text{自变量})$”的形式；可逆用 $x\sim\ln(1+x)$（如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\ln(1+3x)}=\dfrac{1}{3}$） |
| 幂函数类   | $(1+x)^a-1\sim ax$                  | 广义二项式等价，$a$ 为任意实数，如 $\sqrt{1+x}-1\sim\dfrac{1}{2}x$，$\dfrac{1}{1+x}-1\sim -x$                        |
| 三角函数类  | $1-\cos x\sim\dfrac{1}{2}x^2$       | 余弦的“1减余弦”形式，等价于二次项；因为 $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)$，余项 $o(x^2)$ 可忽略                              |
| 反三角函数类 | $\arcsin x\sim x$，$\arctan x\sim x$ | 反三角函数与自变量等价，本质是原函数与反函数在原点附近的线性近似一致（如 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\arctan 5x}{x}=5$）                        |

### 扩展等价

这组关系由泰勒展开取更高阶项，或由基本等价关系组合得到；当分子分母都是高阶无穷小时使用，余项 $o(x^n)$ 可忽略。

| 函数类型    | 等价关系（$x\to 0$）                                   | 泰勒展开依据                                                                  |
| ------- | ------------------------------------------------ | ----------------------------------------------------------------------- |
| 指数函数扩展  | $e^x-1-x\sim\dfrac{1}{2}x^2$                     | $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)$                                        |
| 指数函数扩展  | $e^x-1-x-\dfrac{1}{2}x^2\sim\dfrac{1}{6}x^3$     | $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)$                        |
| 对数函数扩展  | $x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2$                  | $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$                       |
| 对数函数扩展  | $x-\ln(1+x)-\dfrac{1}{2}x^2\sim-\dfrac{1}{3}x^3$ | 同上，取到三阶项                                                                |
| 三角函数扩展  | $\sin x-x\sim-\dfrac{1}{6}x^3$                   | $\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5)$                       |
| 三角函数扩展  | $\tan x-x\sim\dfrac{1}{3}x^3$                    | $\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+o(x^5)$                       |
| 三角函数扩展  | $\tan x-\sin x\sim\dfrac{1}{2}x^3$               | 由 $\tan x-\sin x=\dfrac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}$，代入基本等价无穷小推导          |
| 反三角函数扩展 | $x-\arcsin x\sim-\dfrac{1}{6}x^3$                | $\arcsin x=x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3x^5}{40}+o(x^5)$                    |
| 反三角函数扩展 | $x-\arctan x\sim\dfrac{1}{3}x^3$                 | $\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+o(x^5)$                      |
| 双曲函数类   | $\sinh x\sim x$，$\cosh x-1\sim\dfrac{1}{2}x^2$   | $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$，$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$，泰勒展开后比较 |

### 替换原则

等价无穷小不能随意替换：替换只保证主部不变，被丢掉的低阶项在加减法中可能正是主部。

### 乘积与商可以替换

若 $\alpha\sim\alpha'$，$\beta\sim\beta'$，则

$$
\alpha\beta\sim\alpha'\beta',\qquad
\frac{\alpha}{\beta}\sim\frac{\alpha'}{\beta'}.
$$

后者要求 $\lim\dfrac{\alpha'}{\beta'}$ 存在或为 $\infty$。

**证明**

由等价关系的定义，

$$
\frac{\alpha\beta}{\alpha'\beta'}
=\frac{\alpha}{\alpha'}\cdot\frac{\beta}{\beta'}\to 1,
$$

所以 $\alpha\beta\sim\alpha'\beta'$。同理

$$
\frac{\alpha/\beta}{\alpha'/\beta'}
=\frac{\alpha}{\alpha'}\cdot\frac{\beta'}{\beta}\to 1.
$$

### 和差不能直接逐项替换

若 $\alpha\sim\beta$，即两者的比值趋于 $1$，则 $\alpha-\beta$ 是比它们更高阶的无穷小。把 $\alpha$、$\beta$ 各自替换成等价量，会把这个差直接变成 $0$，丢掉真正的主部。

例如 $\tan x\sim x$、$\sin x\sim x$，但

$$
\lim_{x \to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}
=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3}
=\frac{1}{2}\ne 0.
$$

若把两者都替换成 $x$，会错误地得到 $0$。正确做法是使用扩展等价 $\tan x-\sin x\sim\dfrac{1}{2}x^3$，或直接用泰勒展开。

> [!WARNING]
> 失效的条件是两个被减项彼此等价。若 $\alpha$ 与 $\beta$ 的比值趋于异于 $1$ 的常数，$\alpha-\beta$ 与 $\alpha'-\beta'$ 仍然等价；判断和差能否替换，要看两项是否同阶且主部相同。

### 复合函数的替换

若 $t\to 0$ 时 $f(t)\sim g(t)$，且 $x\to x_0$ 时 $u(x)\to 0$，则

$$
f(u(x))\sim g(u(x)).
$$

因为 $\dfrac{f(u(x))}{g(u(x))}$ 就是 $\dfrac{f(t)}{g(t)}$ 在 $t=u(x)$ 处的取值，极限仍为 $1$。

### 精度匹配

若分子分母都是 $n$ 阶无穷小，替换后的等价无穷小至少要保留到 $n$ 阶，否则会丢掉决定极限值的项。例如在 $\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ 中，只用 $e^x-1\sim x$ 会把分子换成 $0$，无法判断；应使用二阶等价 $e^x-1-x\sim\dfrac{1}{2}x^2$。

### 与泰勒展开的关系

等价无穷小是泰勒展开的最低阶截断：$f(x)$ 等价于其展开式的第一个非零项。因此当替换失效，尤其是和差或需要高阶精度时，直接展开到与分母同阶即可，这是更通用的做法。

> [!CAUTION]
> **先确认趋近方式**
>
> 所有等价关系都绑定在特定的趋近方式上。$x\to\infty$ 时应先令 $t=\dfrac{1}{x}$，把极限化为 $t\to 0$；$x\to 1$ 时不能直接套用 $x\to 0$ 的表，例如 $\ln x$ 应令 $u=x-1$，用 $\ln(1+u)\sim u$。

[来源：等价无穷小](/knowledge/maths/limits/equivalent-infinitesimals/#properties)

表里的等价关系都默认 $x\to 0$；查表前先确认趋近方式，基本表要求默写，扩展表按分母的阶数现查。

本课程判断替换的顺序是：先看这一项处在乘积、商还是和差中，再看分母需要几阶精度；拿不准时回到泰勒展开。

## 学习安排

教材把等价无穷小安排在两个重要极限之后：基本表里的 $\sin x\sim x$ 与第一个重要极限是同一结论的两种写法，扩展表则由泰勒展开取低阶项得到。这一节宜先背基本表，再用“能否拆成乘积或商”决定是否替换，最后才处理需要高阶精度的和差。

下一步的洛必达法则与泰勒展开都能替代本节的部分工作；等价无穷小胜在快，适合结构简单、只涉及乘除的极限。

## 课程约定

* 本节所有等价关系默认 $x\to0$。遇到 $x\to\infty$ 或 $x\to x_0$ 先换元，把趋近方式化到 $0$ 再查表。
* 基本表要求默写；扩展表不要求全背，但要知道它来自泰勒展开，并能按需展开到与分母同阶。
* 改写时保留原来的趋近方式，不把 $x\to1$ 时的 $\ln x$ 直接写成 $x$；正确做法是令 $u=x-1$，用 $\ln(1+u)\sim u$。

## 易错点

* 和差不能直接替换：$\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$ 中把两者都换成 $x$ 会得到 $0$，正确结果是 $\dfrac{1}{2}$。
* 精度不匹配：$\dfrac{e^x-1-x}{x^2}$ 只用 $e^x-1\sim x$ 会把分子换成 $0$，必须用二阶等价 $\dfrac{1}{2}x^2$。
* 替换后要检查新极限是否存在或为无穷，商法则的前提不能丢。

## 复习要点

口诀：低阶替换、乘积可用、和差慎用。拿不准时回到泰勒展开，按分母的阶数决定展开到第几项。