# 1.8函数的连续性与间断点

## 阅读入口

* [函数在一点的连续性](/knowledge/maths/limits/continuity/)
* [间断点及其分类](/knowledge/maths/limits/discontinuity/)
* [导数的定义与几何意义](/knowledge/maths/derivatives/derivative/)

## 连续的定义

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若

$$
\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0),
$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处**连续**。

这个等式同时要求三件事：$f(x_0)$ 有定义，$\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，并且极限值等于函数值。三者缺一不可。

记 $\Delta x=x-x_0$，$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，则连续性也等价于

$$
\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=0.
$$

也就是说，自变量的微小变化只会引起函数值的微小变化。

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### 区间上的连续性

若 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 内每一点都连续，则称 $f$ 在 $(a,b)$ 内连续。

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义，且满足

1. $f$ 在 $(a,b)$ 内连续；
2. $\lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)$（在左端点右连续）；
3. $\lim_{x \to b^-}f(x)=f(b)$（在右端点左连续），

则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。端点处只要求单侧连续，是因为函数在区间外可能没有定义。

[来源：函数在一点的连续性](/knowledge/maths/limits/continuity/#definition)

教材把连续性与间断点放在同一节，是因为判定间断点本质上仍是在算极限。先确认连续的三条件，再按左右极限把间断点分成第一类与第二类。

## 间断点

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。若 $f$ 在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f$ 的**间断点**。

判断间断点只看两条：$\lim_{x \to x_0^-}f(x)$ 与 $\lim_{x \to x_0^+}f(x)$ 是否都存在。按这一点，间断点分为两类。

| 类别     | 条件          | 细分                               | 典型例子                              |
| :----- | :---------- | :------------------------------- | :-------------------------------- |
| 第一类间断点 | 左右极限都存在     | 左右极限相等但不等于函数值（或函数值不存在）：**可去间断点** | $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处     |
|        |             | 左右极限不相等：**跳跃间断点**                | $\operatorname{sgn}(x)$ 在 $x=0$ 处 |
| 第二类间断点 | 至少一个单侧极限不存在 | 至少一个单侧极限为 $\pm\infty$：**无穷间断点**  | $\dfrac{1}{x^2}$ 在 $x=0$ 处        |
|        |             | 极限不存在且不趋于无穷：**振荡间断点**            | $\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处      |

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可去间断点是最容易误判的一类：极限存在，但函数值不存在，或者函数值与极限不相等。补上或改掉这一点函数值，就能把间断点变成连续点，这也是“可去”一名的来源。

[来源：间断点及其分类](/knowledge/maths/limits/discontinuity/#definition)

分类表不必先背。拿到分段函数，先算函数值，再分别算左右极限，最后按“是否存在、是否相等、是否等于函数值”的顺序判断。

## 学习安排

本节的重点是能够在分段点处独立完成“算函数值、算左右极限、比较”的流程。最后用 $|x|$ 在 $x=0$ 处的例子区分“连续”和“可导”，分类表可以在做完判定后再回看。

## 课程约定

* 教材在端点处只讨论单侧连续：左端点看右极限，右端点看左极限。
* 分段函数在分段点处的函数值，以分段定义中该点所在的表达式为准。
* 判断可导性时，左右导数要用导数定义分别计算，不能只对两侧表达式求导后代入。

## 易错点

* 连续只要求极限值等于函数值，不要求可导。
* 可去间断点处极限存在，但函数值可能不存在；不要因为“极限存在”就判为连续。
* 无穷间断点与振荡间断点都属于第二类，区别在于单侧极限是否趋于无穷。

## 复习要点

判断间断点类型时，先看左右极限是否存在，再看是否相等，最后才看函数值。这个顺序能避免把可去间断点误判成跳跃间断点。

回到 $|x|$ 在 $x=0$ 处的例子检查两个方向的命题：函数连续，但左右导数不相等，所以不可导；因此可导必定连续，连续却不一定可导。