# 1.9幂指函数

## 阅读入口

* [幂指函数](/knowledge/maths/limits/power-exponential-function/)
* [复合函数的链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)
* [自然常数的重要极限](/knowledge/maths/limits/exponential-limit/)
* [等价无穷小](/knowledge/maths/limits/equivalent-infinitesimals/)

## 幂指函数的定义

形如

$$
y=[u(x)]^{v(x)}
$$

的函数称为**幂指函数**，其中底数 $u(x)$ 与指数 $v(x)$ 都是自变量 $x$ 的函数。

本页要求 $u(x)>0$。这既保证 $[u(x)]^{v(x)}$ 在实数范围内有定义，也保证可以对 $u(x)$ 取对数；讨论 $x^x$ 时，范围就是 $x>0$。

幂指函数不是幂函数，也不是指数函数，而是两者的推广：幂函数的底数是变量、指数是常数，指数函数的底数是常数、指数是变量，幂指函数则两者都随 $x$ 变化。它仍然是复合函数，但不能直接套用

$$
[x^a]'=ax^{a-1},\qquad [a^x]'=a^x\ln a,
$$

因为这两个公式各自假定底数或指数中有一个是常量。

为书写方便，下文把 $u(x)$、$v(x)$ 简记为 $u$、$v$，并默认它们在所讨论的点可导，或在求极限时极限存在。

[来源：幂指函数](/knowledge/maths/limits/power-exponential-function/#definition)

定义把底数与指数都当作 $x$ 的函数，本节后面的求导与极限都从这个结构出发；遇到 $x^x$ 时，讨论范围就收窄到 $x>0$。

## 幂指函数的极限

### 求导

求导的核心是**对数求导法**：先用 $a=e^{\ln a}$ 把幂指函数写成以 $e$ 为底的复合函数，再按[链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)求导。

设 $u>0$ 且 $u$、$v$ 都可导，则

$$
\left([u(x)]^{v(x)}\right)'
=[u(x)]^{v(x)}\left[v'(x)\ln u(x)+\frac{v(x)u'(x)}{u(x)}\right].
$$

1. **改写成指数形式**

   利用恒等式 $[u(x)]^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$，把底数化为常数 $e$。也可以两边取对数，写成 $\ln y=v(x)\ln u(x)$，两种写法等价。

2. **对 $x$ 求导**

   对外层 $e^{\,\cdot}$ 用链式法则，或对 $\ln y$ 用链式法则，再对乘积 $v\ln u$ 用乘积法则。指数部分的导数是 $v'\ln u+v\dfrac{u'}{u}$。

3. **乘回原函数**

   取对数的写法最后要乘以 $y=[u(x)]^{v(x)}$，才得到上面的公式。直接用指数形式则不必乘，因为 $e^{v\ln u}$ 本身就是原函数。

**证明**

把 $y=e^{v(x)\ln u(x)}$ 看作 $y=e^{g(x)}$ 与 $g(x)=v(x)\ln u(x)$ 的复合。由链式法则，

$$
y'=e^{g(x)}g'(x)
=e^{v\ln u}\left(v'\ln u+v\frac{u'}{u}\right).
$$

再把 $e^{v\ln u}$ 写回 $[u(x)]^{v(x)}$，即得求导公式。取对数的写法记录的是同一步骤：

$$
\frac{y'}{y}
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(v(x)\ln u(x)\bigr)
=v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}.
$$

> [!TIP]
> 解题时用第一步的转化或两边取对数，比直接背最终公式更稳：每次只需对 $v\ln u$ 用一次乘积法则和链式法则。最终公式可以用来核对结果。

用公式时注意两项的来源：$v'\ln u$ 来自指数 $v$ 的变化，$v\dfrac{u'}{u}$ 来自底数 $u$ 的变化，两项都不能漏。

### 极限

### 确定型

若 $\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=a>0$、$\lim\limits_{x\to x_0}v(x)=b$ 都存在，且 $a^b$ 不是不定型，则

$$
\lim_{x\to x_0}[u(x)]^{v(x)}
=\left(\lim_{x\to x_0}u(x)\right)^{\lim\limits_{x\to x_0}v(x)}
=a^b .
$$

这是因为 $u^v=e^{v\ln u}$ 在 $u>0$ 时关于 $(u,v)$ 连续。这类题不需要变形，直接代入即可。

### 不定型

幂指函数的不定式有三类。它们的共同点是 $v\ln u$ 成为 $0\cdot\infty$ 型：

| 类型         | 特征                   | 指数部分 $v\ln u$ 的形式            |
| ---------- | -------------------- | ---------------------------- |
| $1^\infty$ | $u\to1$，$v\to\infty$ | $v\ln u$ 为 $\infty\cdot0$    |
| $\infty^0$ | $u\to\infty$，$v\to0$ | $v\ln u$ 为 $0\cdot\infty$    |
| $0^0$      | $u\to0^+$，$v\to0$    | $v\ln u$ 为 $0\cdot(-\infty)$ |

$0^0$ 型必须要求 $u\to0^+$，否则 $\ln u$ 没有实值，函数在实数范围内无定义。

### 通用方法：先取对数，再取指数

先把幂指函数写成指数形式，利用 $e^x$ 的连续性把极限移到指数上：

$$
\lim_{x\to x_0}[u(x)]^{v(x)}
=\lim_{x\to x_0}e^{v(x)\ln u(x)}
=e^{L},\qquad
L=\lim_{x\to x_0}v(x)\ln u(x).
$$

于是问题化为求 $L$。把 $v\ln u$ 写成 $\dfrac{\ln u}{1/v}$ 或 $\dfrac{v}{1/\ln u}$，就得到 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，可以再用洛必达法则或[等价无穷小](/knowledge/maths/limits/equivalent-infinitesimals/)。求出 $L$（包括 $L=\pm\infty$）后，原极限为 $e^L$。

### $1^\infty$ 型的快捷公式

若 $u(x)\to1$、$v(x)\to\infty$，且 $(u(x)-1)v(x)$ 的极限 $L$ 存在（或为 $\pm\infty$），则

$$
\lim_{x\to x_0}[u(x)]^{v(x)}
=\lim_{x\to x_0}\bigl[1+(u(x)-1)\bigr]^{v(x)}
=e^{L},\qquad
L=\lim_{x\to x_0}(u(x)-1)v(x).
$$

这是因为 $u\to1$ 时 $\ln u=\ln\bigl(1+(u-1)\bigr)\sim u-1$，所以 $v\ln u$ 与 $(u-1)v$ 等价。指数部分因此从 $\ln u$ 简化成一次式，比原式好算。这个公式与[第二个重要极限](/knowledge/maths/limits/important-limits/)同源。

> [!IMPORTANT]
> 不管是哪一类不定型，先把幂指函数写成 $e^{v(x)\ln u(x)}$ 再处理，都是通用做法。$1^\infty$ 的快捷公式只是把 $\ln u$ 换成了等价的一阶量 $u-1$，不能套用到 $\infty^0$ 或 $0^0$ 型。

[来源：幂指函数](/knowledge/maths/limits/power-exponential-function/#properties)

这里的通用方法仍是先写成 $e^{v\ln u}$；求导部分要等2.2的链式法则，本节先读到极限为止。

## 学习安排

这一节编号在第一章末尾，内容却跨到了第二章：前半的对数求导要用复合函数求导法则，后半的极限仍属于本章。两部分放在同一节，是因为它们共用同一个转化 $[u(x)]^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$。建议先读定义与极限部分，等学完链式法则再回看求导部分。

求导与求极限的后续步骤不同：求导是对指数 $v\ln u$ 用乘积法则，再乘回原函数；求极限是求 $v\ln u$ 的极限，再取 $e$。把这两条分开记，比背一个综合公式清楚。

极限部分先给出确定型直接代入，再列出 $1^\infty$、$\infty^0$、$0^0$ 三类不定型，最后用第二个重要极限推出 $1^\infty$ 的快捷公式。三类不定型都要掌握，其中 $1^\infty$ 的快捷公式最常用。

## 记号约定

* 教材写 $[u(x)]^{v(x)}$；本课程默认 $u(x)>0$，遇到 $x^x$ 时讨论范围就是 $x>0$。
* 求导结果写 $y'$ 或 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 都可以，两者含义相同。
* 极限结果统一写成 $e^L$，并把指数部分的极限另记为 $L$；$1^\infty$ 型时改用 $(u-1)v$ 的极限。

## 易错点

* 不能把幂指函数当幂函数或指数函数直接套公式，那两个公式都要求底数、指数中有一个是常量。
* 取对数前先确认底数为正；底数趋于 $0$ 时要写单侧极限，否则 $\ln u$ 没有实值。
* $1^\infty$ 快捷公式的指数部分是 $(u-1)v$，不是 $uv$，也不是 $u-1$。
* 算出 $L$ 后别忘记取指数：原极限是 $e^L$，不是 $L$。
* 确定型极限直接代入 $a^b$；只有 $1^\infty$、$\infty^0$、$0^0$ 才需要取对数变形。

## 复习要点

复习时先写 $e^{v\ln u}$，再分别处理求导或求极限，最后用最终公式核对。判断不定型类型时先看底数极限，再看指数极限，两者合起来才决定走哪条路。