# 10.1二重积分的概念与性质

## 背景

### 曲顶柱体的体积

设空间中的柱体以 $D$ 为底面，侧面以 $D$ 的边界为准线、母线平行于 $z$ 轴，顶面是连续函数 $z=f(x,y)$ 的图像，且 $f(x,y)\ge 0$。这样的立体称为**曲顶柱体**。

求它的体积 $V$ 时，把 $D$ 分成许多小区域，每一小块上用“平顶”柱体近似“曲顶”柱体，再把所有小体积相加并取极限。

### 平面薄片的质量

设 $xOy$ 平面上有一块占有区域 $D$ 的薄片，其面密度由连续函数 $\rho(x,y)$ 给出，且不为常数。把薄片分成若干小块，假定每一小块内密度均匀，求出各小块质量的近似值，再求和、取极限，就得到总质量 $M$。

[来源：二重积分的概念与性质](/knowledge/maths/multiple-integrals/double-integral/#background)

体积和质量都可以先在小区域上近似，再对所有小块求和。分割趋细后的共同形式是二重积分。

## 定义

定义从对平面区域的分割与求和出发，可以概括为四步：

1. **分割**

   把闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\dots,\Delta\sigma_n$，它们的面积也记作 $\Delta\sigma_i$。同一个记号既表示小区域，也表示它的面积。

2. **近似**

   在每个 $\Delta\sigma_i$ 内任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，用乘积 $f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$ 作为这一小块上部分量的近似值。

3. **求和**

   把所有小块的近似值相加，得到和式

   $$
   \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i .
   $$

4. **取极限**

   记 $\lambda$ 为各小区域直径的最大值，令 $\lambda\to0$，考察上述和式的极限。

若这个极限存在，并且极限值与 $D$ 的分法、每块内所取点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法都无关，则称此极限为 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的**二重积分**，记作

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i .
$$

记号各部分的名称：

* $\iint$：二重积分号；
* $D$：积分区域；
* $f(x,y)$：被积函数；
* $\mathrm d\sigma$：面积元素，直角坐标下常写作 $\mathrm dx\,\mathrm dy$。

> [!IMPORTANT]
> **可积性要核对两件事**
>
> 定义既要求和式的极限存在，也要求极限值与分法、取点无关。只要换一种分法或换一组点就得到另一个极限值，这个和式就不能定义二重积分。

> [!NOTE]
> 本页默认 $f$ 在 $D$ 上连续。连续函数在有界闭区域上的二重积分一定存在；反过来，可积函数至少在 $D$ 上有界。

[来源：二重积分的概念与性质](/knowledge/maths/multiple-integrals/double-integral/#definition)

## 性质

以下设 $f$、$g$ 在 $D$ 上可积，$A$ 是 $D$ 的面积。这些性质用于估计积分值、比较两个积分的大小，以及把区域拆开分别计算。

### 线性性质

设 $\alpha,\beta$ 为常数，则

$$
\iint_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\,\mathrm d\sigma=\alpha\iint_D f\,\mathrm d\sigma+\beta\iint_D g\,\mathrm d\sigma .
$$

### 区域可加性

若 $D$ 被分成两个互不重叠（只允许边界相交）的子区域 $D_1$ 与 $D_2$，则

$$
\iint_D f\,\mathrm d\sigma=\iint_{D_1}f\,\mathrm d\sigma+\iint_{D_2}f\,\mathrm d\sigma .
$$

### 面积性质

若在 $D$ 上 $f(x,y)\equiv1$，则

$$
\iint_D 1\,\mathrm d\sigma=\iint_D\mathrm d\sigma=A .
$$

### 比较性质与保号性

若在 $D$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$，则

$$
\iint_D f\,\mathrm d\sigma\le\iint_D g\,\mathrm d\sigma .
$$

特别地，若在 $D$ 上 $f(x,y)\ge0$，则 $\iint_D f\,\mathrm d\sigma\ge0$，这一条也称保号性。

对 $-|f|\le f\le|f|$ 用两次比较性质，得到

$$
\left|\iint_D f\,\mathrm d\sigma\right|\le\iint_D|f|\,\mathrm d\sigma .
$$

### 估值定理

设 $M$、$m$ 分别是 $f$ 在 $D$ 上的最大值与最小值，则

$$
mA\le\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma\le MA .
$$

### 中值定理

设 $D$ 连通且面积 $A>0$，$f$ 在 $D$ 上连续，则 $D$ 中至少存在一点 $(\xi,\eta)$，使

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=f(\xi,\eta)\,A .
$$

**证明** 中值定理的证明

$f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，因此在 $D$ 上取到最小值 $m$ 与最大值 $M$，依据见 [多元函数的连续性](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-continuity/) 中有界闭区域上连续函数的性质。由估值定理，

$$
m\le\frac1A\iint_D f\,\mathrm d\sigma\le M .
$$

$D$ 是连通区域，连续函数在连通区域上取到 $m$ 与 $M$ 之间的每一个值，所以存在 $(\xi,\eta)\in D$ 使

$$
f(\xi,\eta)=\frac1A\iint_D f\,\mathrm d\sigma ,
$$

两边乘以 $A$ 即得结论。

[来源：二重积分的概念与性质](/knowledge/maths/multiple-integrals/double-integral/#properties)

面积性质要求被积函数为 $1$；估值与比较时要核对积分区域。中值定理还要求函数连续，并使用对应的区域条件。

## 学习提示

记 $\lambda$ 为划分中小区域直径的最大值。定义要求积分和在 $\lambda\to0$ 时具有与划分和取点无关的极限。接下来可用[累次积分](/knowledge/maths/multiple-integrals/iterated-integral/)和[直角坐标下的计算](/knowledge/maths/multiple-integrals/double-integral-computation/)求值。