# 10.2二重积分的计算法

## 累次积分

**累次积分**是依次对不同变量求定积分：内层积分先把外层变量看成参数，得到一个关于外层变量的函数，再进行外层积分。例如

$$
\int_a^b\left[\int_c^d f(x,y)\,\mathrm dy\right]\mathrm dx
$$

先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。累次积分与特定二重积分的等价关系还依赖积分区域和适用条件，见[二重积分的直角坐标计算](/knowledge/maths/multiple-integrals/double-integral-computation/)。

[来源：累次积分](/knowledge/maths/multiple-integrals/iterated-integral/#definition)

内层积分先固定外层变量。把二重积分化成累次积分时，还要按区域确定积分限。

## 直角坐标计算

在直角坐标下 $\mathrm d\sigma=\mathrm dx\,\mathrm dy$。把二重积分写成[累次积分](/knowledge/maths/multiple-integrals/iterated-integral/)时，哪一层在内、哪一层在外由区域的形状决定，按外层积分变量把区域分成两类。

### X型区域

若 $D$ 可以表示为

$$
D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\},
$$

即左、右边界分别是竖直线 $x=a$ 与 $x=b$，下、上边界分别是连续曲线 $y=\varphi_1(x)$ 与 $y=\varphi_2(x)$，则

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,\mathrm dy\right]\mathrm dx .
$$

这是先对 $y$、后对 $x$ 的**累次积分**，也称二次积分。

### Y型区域

若 $D$ 可以表示为

$$
D=\{(x,y):c\le y\le d,\ \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)\},
$$

即下、上边界分别是水平线 $y=c$ 与 $y=d$，左、右边界分别是连续曲线 $x=\psi_1(y)$ 与 $x=\psi_2(y)$，则

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\,\mathrm dx\right]\mathrm dy .
$$

> [!NOTE]
> **内层上下限可以是函数，外层必须是常数**
>
> 对固定积分区域，内层积分的上下限可以依赖外层变量；外层上下限不能依赖内层变量。若另有不参与积分的参数，上下限仍可依赖该参数。

### 交换积分次序

同一个二重积分可以按X型或Y型两种次序计算。有时某一次序下的内层积分积不出来（例如被积函数含 $e^{-y^2}$），换一次序就能积。交换次序按下面的步骤进行：

1. **由上下限还原区域**

   从原来的累次积分读出 $D$ 的不等式表示，画出 $D$ 的图形。

2. **改写为另一种类型**

   把同一个 $D$ 重新表示为新次序下的不等式组，得到新的上下限。

3. **写出新次序的累次积分**

   被积函数不变，按新次序安排内层与外层。

> [!WARNING]
> 交换次序不是把 $\mathrm dx$ 与 $\mathrm dy$ 对调就结束。区域没有变，每一层的上下限都要按新次序重新确定；只对调微分而沿用旧上下限，通常得到的是对另一个区域的积分。

[来源：二重积分的直角坐标计算](/knowledge/maths/multiple-integrals/double-integral-computation/#definition)

交换次序时先从原积分限还原区域，再根据新的切片方向重新定限。区域无法用一组上下限表示时，先分块。

## 极坐标计算

### 适用场景

当 $D$ 的边界由圆弧、射线组成，或者被积函数含 $x^2+y^2$、$\dfrac yx$ 等形式时，用极坐标通常更简单。

### 变换与面积元素

极坐标与直角坐标的关系为

$$
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r\ge0 .
$$

这个变换的雅可比行列式是

$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r ,
$$

于是

$$
\mathrm d\sigma=\mathrm dx\,\mathrm dy=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta .
$$

面积元素中多出的因子 $r$ 来自坐标变换，不能漏写。

### 极坐标下的公式

若区域可以沿每条选定射线写成单个径向区间，且角度范围不重复覆盖区域，即

$$
D=\{(r,\theta):\alpha\le\theta\le\beta,\ r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)\},
$$

则

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_\alpha^\beta\left[\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .
$$

### 两类常见区域

**极点在区域外部且各射线与区域的交集为单个区间。** 此时 $\theta$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$，$r$ 从内边界 $r_1(\theta)$ 变到外边界 $r_2(\theta)$，直接使用上面的公式。

**极点在区域内部且区域关于极点是星形。** 若 $D$ 的边界曲线为 $r=r(\theta)$，极角范围是 $0\le\theta\le2\pi$，则内层积分的下限为 $r=0$，公式简化为

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .
$$

特别地，$D$ 是以原点为圆心、$R$ 为半径的圆域时 $r(\theta)=R$，此时

$$
\iint_D f(x,y)\,\mathrm d\sigma=\int_0^{2\pi}\left[\int_0^R f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,\mathrm dr\right]\mathrm d\theta .
$$

极点在边界上时，若所取射线与区域的交集都从极点开始，$r$ 的下限为 $0$，$\theta$ 只覆盖区域张开的角。例如 $x^2+y^2\le2x$ 的边界为 $r=2\cos\theta$，对应 $-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2$。不满足单区间条件的区域需要分块。

[来源：二重积分的极坐标计算](/knowledge/maths/multiple-integrals/polar-double-integral/#definition)

换元时同时替换被积函数、区域和面积元素。选择的角度范围应覆盖区域一次；径向交集不连续时需要分块，不能仅凭极点的位置断定积分限。