# 10.3三重积分

## 定义

把 $\Omega$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta v_1,\Delta v_2,\dots,\Delta v_n$，记号 $\Delta v_i$ 既表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的体积。在每个 $\Delta v_i$ 内任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，作和式

$$
\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i .
$$

记 $\lambda$ 为各小闭区域直径的最大值。若 $\lambda\to0$ 时上述和式的极限存在，且极限值与 $\Omega$ 的划分方式、取点方式都无关，则称此极限为 $f(x,y,z)$ 在空间闭区域 $\Omega$ 上的**三重积分**，记作

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta v_i .
$$

其中 $\Omega$ 是积分区域，$f(x,y,z)$ 是被积函数，$\mathrm dv$ 是体积元素。

### 物理意义

若空间物体占有区域 $\Omega$，体密度为 $\rho(x,y,z)$，则物体的质量为

$$
M=\iiint_\Omega\rho(x,y,z)\,\mathrm dv .
$$

当 $f(x,y,z)\equiv1$ 时，$\iiint_\Omega\mathrm dv$ 等于区域 $\Omega$ 的体积：

$$
\iiint_\Omega\mathrm dv=V .
$$

> [!NOTE]
> 三重积分与二重积分只差区域维数和相应的元素。二重积分的线性性质、区域可加性、比较性质、估值定理和中值定理逐条照搬，只需把面积 $A$ 换成体积 $V$。

[来源：三重积分](/knowledge/maths/multiple-integrals/triple-integral/#definition)

三重积分可用于计算空间区域的体积与变密度物体的质量。计算时先分析区域，再选适合的积分次序或坐标。

## 直角坐标计算

设 $\Omega$ 为有界空间区域，$f$ 在其上连续。以下公式要求所用投影与截面可积；切片不是单个区间时，可将区域分块。

直角坐标下 $\mathrm dv=\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$。化为三次积分时，按“先积几个变量”分成两种做法：先对一个变量积分、再对剩下两个变量积分的叫“先一后二”，反过来叫“先二后一”。选哪种，取决于区域形状和截面面积是否容易求。

### 投影法（先一后二）

把 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，得到投影区域 $D_{xy}$。若对 $D_{xy}$ 内每一点 $(x,y)$，$z$ 的变化范围是

$$
z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),
$$

则

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv=\iint_{D_{xy}}\left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,\mathrm dz\right]\mathrm d\sigma .
$$

内层是对 $z$ 的定积分，结果是 $x,y$ 的函数，再对 $D_{xy}$ 做二重积分。同样可以把 $\Omega$ 投影到 $yOz$ 或 $zOx$ 平面，此时内层分别先对 $x$ 或 $y$ 积分。

### 截面法（先二后一）

用平行于某一坐标平面的平面去截 $\Omega$，得到一系列截面。例如用平行于 $xOy$ 平面的平面 $z=z_0$ 截 $\Omega$，得到截面区域 $D(z)$；设 $z$ 的变化范围是 $c_1\le z\le c_2$，则

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv=\int_{c_1}^{c_2}\left[\iint_{D(z)}f(x,y,z)\,\mathrm d\sigma\right]\mathrm dz .
$$

截面法适合截面面积容易求出的情形：内层是对 $x,y$ 的二重积分，外层只对 $z$ 积分一次。

> [!WARNING]
> 投影法的内层上下限 $z_1(x,y)$、$z_2(x,y)$ 一般依赖 $x,y$，不能当作常数提到二重积分外面。只有上下底面都是水平平面时，它们才是常数。

[来源：三重积分的直角坐标计算](/knowledge/maths/multiple-integrals/triple-integral-cartesian/#definition)

## 柱面坐标计算

设 $f$ 在有界空间区域 $\Omega$ 上连续。若区域不能用一组柱面坐标积分限表示，可以将其分块后分别计算。

柱面坐标是极坐标的推广，与直角坐标的关系为

$$
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,
$$

其中 $r\ge0$，$0\le\theta\le2\pi$，$-\infty<z<+\infty$。体积元素为

$$
\mathrm dv=r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz .
$$

若 $\Omega$ 在柱面坐标下表示为

$$
\alpha\le\theta\le\beta,\qquad r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta),\qquad z_1(r,\theta)\le z\le z_2(r,\theta),
$$

则

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv
=\int_\alpha^\beta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\,r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta .
$$

**适用场景**：当 $\Omega$ 的侧面是圆柱面、锥面等旋转曲面，或被积函数含 $x^2+y^2$ 时，用柱面坐标通常比直角坐标省事。

[来源：三重积分的柱面坐标计算](/knowledge/maths/multiple-integrals/triple-integral-cylindrical/#definition)

## 球面坐标计算

设 $f$ 在有界空间区域 $\Omega$ 上连续。以下使用的积分限应覆盖区域一次；不能用一组积分限表示时，可以先分块。

球面坐标与直角坐标的关系为

$$
x=r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=r\cos\varphi,
$$

其中 $r\ge0$ 是点到原点的距离，$0\le\varphi\le\pi$ 是极角（与 $z$ 轴正向的夹角），$0\le\theta\le2\pi$ 是方位角（点在 $xOy$ 平面的投影与 $x$ 轴正向的有向角）。体积元素为

$$
\mathrm dv=r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta .
$$

若 $\Omega$ 在球面坐标下表示为

$$
\theta_1\le\theta\le\theta_2,\qquad\varphi_1(\theta)\le\varphi\le\varphi_2(\theta),\qquad r_1(\theta,\varphi)\le r\le r_2(\theta,\varphi),
$$

则

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv
=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\int_{r_1(\theta,\varphi)}^{r_2(\theta,\varphi)}
f(r\sin\varphi\cos\theta,\,r\sin\varphi\sin\theta,\,r\cos\varphi)\,
r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta .
$$

上式把代入后的被积函数简记为 $f(\cdot)$，即 $f$ 后面那一串球面坐标表达式；球体等特殊区域也沿用这个简写。

**适用场景**：当 $\Omega$ 是球体、半球、锥体等，或被积函数含 $x^2+y^2+z^2$ 时，用球面坐标比较简便。

特别地，当 $\Omega$ 是以原点为球心、$R$ 为半径的球体时，

$$
\iiint_\Omega f(x,y,z)\,\mathrm dv
=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^R f(\cdot)\,r^2\sin\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta .
$$

[来源：三重积分的球面坐标计算](/knowledge/maths/multiple-integrals/triple-integral-spherical/#definition)

柱面坐标的 $r$ 表示点到 $z$ 轴的距离，球面坐标的 $r$ 表示点到原点的距离。两种变换的体积元素分别含 $r$ 和 $r^2\sin\varphi$；球面坐标中的 $\varphi$ 从正 $z$ 轴起算。