# 11.1对弧长的曲线积分

## 阅读入口

* [对弧长的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-arc-length/)
* [对坐标的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-coordinates/)

## 学习安排

本章把曲线积分分成两类：对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分。教材先在本节建立第一类积分，下一节再用有向小弧段的坐标增量建立第二类积分，最后用格林公式把第二类积分与二重积分联系起来。阅读本节时先确认弧长元素 $\mathrm{d}s$ 从哪里来，再进入下一节对照两类积分的区别。

教材把参数方程放在计算法的首位，直角坐标与极坐标都作为参数方程的特例处理；空间曲线的公式是同一结构增加一个分量。复习时按“参数方程、直角坐标、极坐标、空间曲线”的顺序检查公式，比单独背四条公式更稳。

## 定义与弧长元素

设 $L$ 为 $xOy$ 平面内的一条光滑曲线弧，函数 $f(x,y)$ 在 $L$ 上有界。将 $L$ 任意分成 $n$ 个小弧段

$$
\Delta s_1,\Delta s_2,\dots,\Delta s_n,
$$

其中 $\Delta s_i$ 也表示第 $i$ 个小弧段的长度。在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和式

$$
\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta s_i.
$$

记 $\lambda$ 为各小弧段长度的最大值。若极限

$$
\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta s_i
$$

存在，且与 $L$ 的分法及点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在曲线弧 $L$ 上**对弧长的曲线积分**，也称**第一类曲线积分**，记作

$$
\int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s.
$$

其中 $L$ 称为积分弧段，$f(x,y)$ 称为被积函数，$\mathrm{d}s$ 称为弧长元素。若 $f$ 在 $L$ 上连续，则上述积分存在。

对空间曲线 $\Gamma$ 上的第一类曲线积分，定义完全类似，记作

$$
\int_\Gamma f(x,y,z)\,\mathrm{d}s.
$$

**物理意义**：若曲线形构件占据位置 $L$，线密度为 $\rho(x,y)$，则构件的质量为

$$
M=\int_L \rho(x,y)\,\mathrm{d}s.
$$

因为 $\rho(x,y)\,\mathrm{d}s$ 是一小段弧的质量微元，沿曲线累加就得到总质量。

[来源：对弧长的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-arc-length/#definition)

定义给出 $\mathrm{d}s$ 的含义，计算时要把它写成参数形式，这是下一段的内容。

## 计算方法

把曲线参数化后，$\mathrm{d}s$ 就是参数增量的长度倍数，曲线积分随即化为普通定积分。计算时按下面的顺序进行。

1. **写出参数方程并确定参数范围**

   选取使曲线只被经过一次的参数区间，并保证区间下限小于上限。空间曲线还要写出 $z$ 的参数表达式。

2. **计算弧长元素**

   由 $\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}$ 写出 $\mathrm{d}s$ 关于参数增量的表达式，例如参数为 $t$ 时

   $$
   \mathrm{d}s=\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}\,\mathrm{d}t.
   $$

3. **把被积函数用参数表示**

   将 $x=\varphi(t)$、$y=\psi(t)$ 代入 $f(x,y)$，被积函数变成只含 $t$ 的函数。

4. **计算定积分**

   用所得的定积分公式计算。结果是一个数，与曲线的参数化方式无关。

[来源：对弧长的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-arc-length/#computation)

四类曲线的公式都齐了；课程约定把记号与参数区间的写法收在一起。

## 课程约定

* 教材称本节内容为**第一类曲线积分**，平面曲线用 $L$ 表示，空间曲线用 $\Gamma$ 表示，弧长元素记作 $\mathrm{d}s$。
* 参数方程写成 $\alpha\le t\le\beta$ 时，默认 $\alpha<\beta$，即参数从小到大的范围；曲线的方向不进入第一类积分的计算。
* 教材把 $y=y(x)$ 的情形看作以 $x$ 为参数，把 $r=r(\theta)$ 的情形先换成 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ 再计算。

## 重点与易错点

* 计算前先写出 $\mathrm{d}s$，再代入被积函数；$\mathrm{d}s$ 的根号内是参数导数的平方和，和被积函数无关。
* 化定积分时**下限必须小于上限**。题目给出的参数区间方向相反时，先把参数范围改成从小到大，不能靠交换上下限制造一个负号；这是本节与第二类积分最容易混的地方。
* 第一类积分与曲线方向无关，所以同一条曲线从 $A$ 到 $B$ 和从 $B$ 到 $A$ 的积分相同。下一节的对坐标曲线积分没有这个性质，做题时先看清积分类型。
* 圆周、圆弧上的积分优先考虑极坐标或参数方程；被积函数在曲线上为常数时，可以先算曲线长度再乘常数。

## 复习要点

复习时先判断曲线适合哪种参数化，再写 $\mathrm{d}s$，最后才处理被积函数。遇到方向相反的参数区间，先改写区间，不交换上下限。