# 11.2对坐标的曲线积分

## 阅读入口

* [对坐标的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-coordinates/)
* [对弧长的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-arc-length/)
* [格林公式及其应用](/knowledge/maths/line-integrals/greens-theorem/)

## 学习安排

教材在上一节建立了对弧长的曲线积分，本节改用有向小弧段的坐标增量定义对坐标的曲线积分，并立刻给出向量形式。下一节的格林公式以 $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 为对象，所以本节的参数化计算是整章的基础。

阅读顺序建议是：先看有向弧段与 $\Delta x_i$、$\Delta y_i$ 的符号，再读参数方程下的计算公式，然后比较方向性与可加性，最后看两类积分的联系公式。联系公式在格林公式之后还会反过来用，不宜跳读。

## 定义与方向

设 $L$ 为 $xOy$ 平面内从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑曲线弧，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界。沿 $L$ 的方向，用 $L$ 上的点 $M_1,M_2,\dots,M_{n-1}$ 将 $L$ 分成 $n$ 个有向小弧段

$$
\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\qquad (i=1,2,\dots,n),
$$

其中 $M_0=A$，$M_n=B$。记

$$
\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\qquad \Delta y_i=y_i-y_{i-1},
$$

它们是有向小弧段在两条坐标轴上的投影，方向相反时投影变号。在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和式

$$
\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i)\,\Delta x_i,
\qquad
\sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\,\Delta y_i.
$$

记 $\lambda$ 为各小弧段长度的最大值。若 $\lambda\to 0$ 时上述两个和式的极限都存在，且与分法及取点无关，则分别称它们为函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上**对坐标的曲线积分**，也称**第二类曲线积分**，记作

$$
\int_L P(x,y)\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y.
$$

记号中的两个积分分别与 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 配对，合并写法表示二者之和。若 $P$、$Q$ 在 $L$ 上连续，则这两个积分存在。

若记 $\mathbf F=(P,Q)$，$\mathrm{d}\mathbf r=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$，则也可写成向量形式

$$
\int_L \mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r
=\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.
$$

对空间有向曲线 $\Gamma$，类似地定义

$$
\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z.
$$

**物理意义**：变力 $\mathbf F=(P,Q)$ 沿有向曲线 $L$ 所做的功为

$$
W=\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
=\int_L \mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r.
$$

[来源：对坐标的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-coordinates/#definition)

有向弧段的定义落到计算上仍是参数化，只是上下限要按方向排。

## 计算方法

第二类曲线积分同样通过参数化化成定积分，但参数的起止值必须与曲线的起点、终点对应。

1. **写出有向曲线的参数方程**

   确认参数 $t=\alpha$ 对应起点、$t=\beta$ 对应终点。参数可以不满足 $\alpha<\beta$，关键是起止点与方向一致。

2. **写出坐标微分**

   由 $x=\varphi(t)$、$y=\psi(t)$ 得

   $$
   \mathrm{d}x=\varphi'(t)\,\mathrm{d}t,\qquad
   \mathrm{d}y=\psi'(t)\,\mathrm{d}t.
   $$

3. **代入并合并**

   把 $x,y,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y$ 一起代入，得到只含 $t$ 的定积分。

4. **按方向确定上下限**

   从起点对应的参数积到终点对应的参数。若中途交换上下限，必须同时改变积分符号。

[来源：对坐标的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-coordinates/#computation)

两类积分各自能算之后，才谈得上把它们互相转换。

## 两类积分的联系

设有向曲线弧 $L$ 的起点为 $A$、终点为 $B$。在 $L$ 上任一点 $(x,y)$ 处，取指向曲线方向的单位切向量

$$
\mathbf T=(\cos\alpha,\cos\beta),
$$

其中 $\alpha$、$\beta$ 分别是 $\mathbf T$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴正向的夹角。由于 $\mathrm{d}s>0$ 是弧长元素，

$$
\mathrm{d}x=\cos\alpha\,\mathrm{d}s,\qquad
\mathrm{d}y=\cos\beta\,\mathrm{d}s.
$$

代入第二类曲线积分，得到

$$
\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
=\int_L (P\cos\alpha+Q\cos\beta)\,\mathrm{d}s.
$$

对空间有向曲线 $\Gamma$，若单位切向量的方向余弦为 $\cos\alpha$、$\cos\beta$、$\cos\gamma$，则

$$
\int_\Gamma P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z
=\int_\Gamma (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\,\mathrm{d}s.
$$

联系公式说明：第二类曲线积分可以看作以方向余弦为权重的第一类曲线积分。方向余弦的符号由 $L$ 的方向决定，所以右端仍随方向变号；$\mathrm{d}s$ 本身始终为正。

[来源：对坐标的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-coordinates/#relation)

联系公式之后就是下一节的格林公式；课程约定把方向余弦的符号先固定下来。

## 课程约定

* 有向曲线弧记作 $L$，起点为 $A$、终点为 $B$；与 $L$ 方向相反的弧记作 $L^-$。
* 向量形式中取 $\mathbf F=(P,Q)$、$\mathrm{d}\mathbf r=(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$，教材把第二类积分写成 $\int_L\mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r$。
* 两类积分联系公式里的 $\cos\alpha$、$\cos\beta$ 是**有向**单位切向量的方向余弦，带符号；$\mathrm{d}s$ 仍取正值。
* 空间曲线用 $\Gamma$ 表示，被积表达式增加 $R\,\mathrm{d}z$ 一项。

## 重点与易错点

* 参数 $t$ 的起止值必须和曲线的起点、终点对应。方向反了要改上下限或在结果前加负号，不能只改被积表达式。
* 计算时两个坐标微分都要乘上对应的参数导数，漏乘是本节最常见的计算错误。
* 第二类积分反向变号，第一类积分反向不变号。题目把两类积分放在一起时，先确认 $\mathrm{d}s$ 还是 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$。
* 联系公式中方向余弦决定符号，不能把 $\cos\alpha$、$\cos\beta$ 当成普通夹角余弦取正值。

## 复习要点

复习时先看曲线是否闭合、方向是否给定，再决定直接参数化还是寻找原函数。若被积表达式恰是某个函数的全微分，优先用端点值相减，下一节的路径无关判定会解释这样做的条件。