# 11.3格林公式及其应用

## 阅读入口

* [格林公式](/knowledge/maths/line-integrals/greens-theorem/)
* [平面区域的正向边界](/knowledge/maths/line-integrals/boundary-orientation/)
* [曲线积分与路径无关](/knowledge/maths/line-integrals/path-independence/)
* [对坐标的曲线积分](/knowledge/maths/line-integrals/line-integral-coordinates/)

## 学习安排

教材先用单连通与复连通区分区域，再叙述格林公式，最后给出两个应用：用第二类曲线积分计算平面图形面积，以及由格林公式推出曲线积分与路径无关的判定。路径无关的四个等价条件集中放在本节末尾，和格林公式共用同一个“边界积分等于内部积分”的思路。

阅读顺序建议是：区域与边界方向、格林公式本身、面积公式、路径无关的等价条件与判定定理。面积公式和路径无关判定都是格林公式的推论，先把公式的条件记清，后面的结论才不会混用。

## 区域与边界方向

这里的**区域**指连通的开集，**闭区域**指区域连同它的边界。

**单连通区域**：若区域 $D$ 内的任一闭曲线所围的部分都属于 $D$，则称 $D$ 为单连通区域。直观地说，单连通区域就是没有“洞”的区域。

**复连通区域**：若区域 $D$ 不是单连通区域，即 $D$ 内存在某些闭曲线，其所围的部分不全属于 $D$，则称 $D$ 为复连通区域，也称多连通区域。直观地说，复连通区域就是有“洞”的区域。

### 正向边界

设 $L$ 是区域 $D$ 的边界。若沿 $L$ 行走时，区域 $D$ 始终位于左侧，则称这个方向为 $L$ 的**正向**；相反的方向称为负向。

对常见的单连通区域，正向边界就是逆时针方向。对复连通区域，边界由几条闭曲线组成：外边界取正向（逆时针），每个内边界取负向（顺时针），这样沿任一边界行走时 $D$ 都在左侧。

“正向”是对区域而言的，不是对曲线本身而言的。同一条圆周，围成的圆盘在左侧时是逆时针；若把它看作圆环的内边界，为了保持圆环在左侧，就要取顺时针。

[来源：平面区域的正向边界](/knowledge/maths/line-integrals/boundary-orientation/#definition)

区域的分类与正向边界定好，公式才有明确的使用范围。

## 格林公式

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 所围成，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则

$$
\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
=\oint_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y,
$$

其中 $L$ 是 $D$ 的**正向边界曲线**。

对复连通区域，格林公式仍然成立，但此时 $L$ 应理解为区域 $D$ 的**全部边界**，且外边界取正向（逆时针），内边界取负向（顺时针）。

使用格林公式前要检查两件事：$P$、$Q$ 在 $D$ 上（包括 $D$ 的内部）具有一阶连续偏导数；$L$ 取正向。若 $D$ 内有使 $P$ 或 $Q$ 无定义的奇点，不能直接套公式，要在挖去奇点后的区域上使用，并把新增的边界计入 $L$。

[来源：格林公式](/knowledge/maths/line-integrals/greens-theorem/#definition)

公式把边界积分与区域积分放在等号两边，两个应用分别从这两边读出来。

## 路径无关

设 $G$ 是一个开区域，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数。若对于 $G$ 内任意两点 $A$、$B$，以及 $G$ 内从 $A$ 到 $B$ 的任意两条路径 $L_1$ 和 $L_2$，都有

$$
\int_{L_1}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y
=\int_{L_2}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y,
$$

则称曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内**与路径无关**。

反之，若存在两点 $A$、$B$ 及两条路径使得积分值不等，则称积分**与路径有关**，也称路径相关。

### 等价条件

以下四个条件在单连通区域 $G$ 内相互等价：

1. 曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关；
2. 对 $G$ 内的任意闭曲线 $C$，有 $\displaystyle\oint_C P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0$；
3. 在 $G$ 内恒有 $\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$；
4. $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 是 $G$ 内某个函数 $u(x,y)$ 的全微分，即 $\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$。

### 判定定理

设区域 $G$ 是一个**单连通区域**，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则以下两个条件等价：

1. 曲线积分 $\displaystyle\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 在 $G$ 内与路径无关，或沿 $G$ 内任意闭曲线的积分为零；
2. 在 $G$ 内恒有

$$
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
$$

**单连通区域**这个条件不能省。复连通区域中即使处处满足 $\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x$，曲线积分也不一定与路径无关：绕“洞”的闭曲线积分可能不为零，例子中的 $\dfrac{x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$ 就是这种情况。

### 原函数

当积分与路径无关时，从定点 $A(x_0,y_0)$ 到动点 $B(x,y)$ 的曲线积分只与起点和终点有关，可记为

$$
u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y.
$$

这个 $u(x,y)$ 就是 $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 的一个原函数，并且

$$
\frac{\partial u}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=Q.
$$

于是 $\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$，沿任意路径从 $A$ 到 $B$ 的积分都等于 $u(B)-u(A)$。

[来源：曲线积分与路径无关](/knowledge/maths/line-integrals/path-independence/#definition)

格林公式与两个应用都齐了；课程约定把正向边界与原函数的写法收在一起。

## 课程约定

* **正向边界**：沿边界行走时区域 $D$ 始终位于左侧。单连通区域取逆时针；复连通区域的外边界取逆时针，内边界取顺时针。
* 复连通区域的 $L$ 指**全部边界**，不是只指外边界；挖去的洞的边界也要计入，并取负向。
* 教材用 $\oint_L$ 表示沿闭曲线 $L$ 的积分，用 $A$ 表示平面区域 $D$ 的面积。
* 路径无关时，教材把从定点到动点的积分记作 $u(x,y)$，并称它是 $P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y$ 的原函数。

## 重点与易错点

* 格林公式要求 $P$、$Q$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，并且 $L$ 取正向。两个条件缺一不可，方向反了结果差一个负号。
* 区域内有奇点时不能直接套格林公式；要先挖去奇点，再在剩下的复连通区域上使用，并把新增边界计入 $L$。
* 复连通区域中，$\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ 不能保证路径无关，绕洞的闭曲线积分可能不为零。判断路径无关的顺序是：先看区域是否单连通，再验证偏导数相等。
* 面积公式的系数是 $\dfrac12$。若改用 $A=\oint_L x\,\mathrm{d}y$ 或 $A=-\oint_L y\,\mathrm{d}x$，边界仍须取正向，且不要再乘 $\dfrac12$。

## 复习要点

复习时把三个结论放在一起对照：格林公式是母公式，面积公式是取 $P=-y$、$Q=x$ 的特例，路径无关判定是闭曲线积分取零的情形。做题先画区域、标出边界方向，再决定用哪一个。