# 12.1常数项级数的概念和性质

## 阅读入口

* [常数项级数的概念与性质](/knowledge/maths/series/series/)

## 学习安排

正文从回顾数列开始，再把“把数列的项依次加起来”写成级数，把敛散性完全交给部分和数列 $\{s_n\}$。本节的主线是：一般项 → 部分和 → 部分和数列的极限，五条性质都建立在这条链上。

性质按“线性、加减、有限项、加括号、必要条件”的顺序排列。性质4与性质5都附带“逆命题不成立”的提醒，这两个提醒比性质本身的表述更容易在判断题里用错，阅读时要把补充条件一起记住。

本节列出的三个标准级数各有分工：等比级数给出可以直接写出的和；调和级数用来否定“一般项趋于零即收敛”；$p$ 级数在12.2的比较审敛法中作为比较对象反复使用。读12.2之前，先把 $p$ 级数在 $p>1$、$p\le1$ 两种情形下的结论记牢。

## 定义与部分和

给定数列 $\{u_n\}$，把它的项依次相加得到的表达式

$$
u_1+u_2+u_3+\cdots+u_n+\cdots
$$

称为（常数项）**无穷级数**，简称**级数**，记作 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$。其中 $u_n$ 称为级数的**一般项**，也叫通项。

级数的前 $n$ 项之和

$$
s_n=u_1+u_2+\cdots+u_n=\sum_{k=1}^{n}u_k
$$

称为**部分和**，$s_1,s_2,\dots,s_n,\dots$ 构成部分和数列 $\{s_n\}$。

若部分和数列的极限存在，即

$$
\lim_{n\to\infty}s_n=s,
$$

则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ **收敛**，$s$ 称为级数的**和**，记作 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n=s$。若 $\{s_n\}$ 的极限不存在，则称级数**发散**。

级数收敛时，和与部分和之差

$$
r_n=s-s_n
$$

称为级数的**余项**。

判断级数收敛，就是判断部分和数列是否有有限极限；求级数的和，就是求这个极限。一般项 $u_n$ 描述级数的结构，但判断敛散性仍要回到 $\{s_n\}$，不能只看某一项或某几项。

[来源：常数项级数的概念与性质](/knowledge/maths/series/series/#definition)

敛散性交给部分和之后，性质就可以逐条用 $\{s_n\}$ 验证。

## 性质

以下性质都针对收敛级数。记 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n=s$，$\sum_{n=1}^{\infty}v_n=\sigma$。

### 线性与加减

若 $\sum u_n$ 收敛于 $s$，$k$ 为常数，则 $\sum ku_n$ 也收敛，且

$$
\sum_{n=1}^{\infty}ku_n=ks.
$$

若 $\sum u_n$、$\sum v_n$ 分别收敛于 $s$、$\sigma$，则 $\sum(u_n\pm v_n)$ 也收敛，且

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)=s\pm\sigma.
$$

### 添去或改变有限项

在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的收敛性或发散性；收敛时，级数的和一般会改变。

这条性质说明级数可以从任意一项开始写，起点不同只差有限项，所以 $p$ 级数、等比级数常从 $n=0$ 或 $n=1$ 写起。

### 加括号

收敛级数任意加括号后所得的新级数仍然收敛，且和不变。也就是说，把相邻若干项先求和再相加，不会改变收敛级数的和。这条性质也常称为级数的结合律。

> [!WARNING]
> **逆命题不成立**
>
> 加括号后收敛，不能推出原级数收敛。例如 $1-1+1-1+\cdots$ 按两项一组加括号得到 $0+0+\cdots$，收敛于 $0$，但原级数的部分和在 $1$ 与 $0$ 之间跳动，本身发散。
>
> 补上一般项的条件后结论成立：若加括号后的级数收敛，**并且**原级数的一般项 $u_n\to0$，则原级数收敛。

### 收敛的必要条件

若 $\sum u_n$ 收敛，则

$$
\lim_{n\to\infty}u_n=0.
$$

**证明**

设 $\sum u_n$ 收敛于 $s$，则 $s_n\to s$，且 $s_{n-1}\to s$。由 $u_n=s_n-s_{n-1}$ 得

$$
\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}s_n-\lim_{n\to\infty}s_{n-1}=s-s=0.
$$

> [!WARNING]
> **逆命题不成立**
>
> $u_n\to0$ 只是收敛的必要条件，不是充分条件。调和级数 $\sum 1/n$ 的一般项趋于 $0$，级数却发散，见下文。
>
> 使用时据此区分两个方向：$\lim u_n\ne0$ 可以直接判定发散，$\lim u_n=0$ 不能判定收敛。

[来源：常数项级数的概念与性质](/knowledge/maths/series/series/#properties)

性质对一般级数成立，具体到某类级数还要会算部分和，下一段给三个标准例子。

## 典型级数

### 等比级数

形如

$$
\sum_{n=0}^{\infty}aq^n=a+aq+aq^2+\cdots+aq^n+\cdots\qquad(a\ne0)
$$

的级数称为**等比级数**，也叫几何级数，$q$ 称为公比。当 $q\ne1$ 时，部分和为

$$
s_n=a+aq+\cdots+aq^{n-1}=a\frac{1-q^n}{1-q}.
$$

* 当 $|q|<1$ 时，$q^n\to0$，级数收敛，和为 $s=\dfrac{a}{1-q}$；
* 当 $|q|\ge1$ 时，$q^n$ 不趋于 $0$（$q=1$ 时 $s_n=na$），级数发散。

等比级数的和可以直接写出，在幂级数等场合常作为比较对象。

### 调和级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n+\cdots
$$

称为**调和级数**。它的一般项 $\dfrac1n\to0$，满足收敛的必要条件，但级数发散。

**证明** 调和级数发散

把级数按 $2$ 的幂分组：

$$
1+\frac12+\left(\frac13+\frac14\right)+\left(\frac15+\cdots+\frac18\right)+\cdots
$$

第 $k$ 组从 $\dfrac1{2^{k-1}+1}$ 到 $\dfrac1{2^k}$，共 $2^{k-1}$ 项，每项都不小于 $\dfrac1{2^k}$，所以第 $k$ 组的和不小于

$$
2^{k-1}\cdot\frac1{2^k}=\frac12.
$$

于是

$$
s_{2^k}\ge 1+\frac k2\to+\infty,
$$

部分和数列无上界，调和级数发散。

调和级数是“一般项趋于零不能保证收敛”的标准反例。

### p级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}=1+\frac1{2^p}+\frac1{3^p}+\cdots+\frac1{n^p}+\cdots
$$

称为 **$p$ 级数**，$p$ 为常数。其敛散性为：

* 当 $p>1$ 时收敛；
* 当 $p\le1$ 时发散。

$p=1$ 时就是调和级数。$p$ 级数是正项级数最常用的比较对象，具体的比较方式见[常数项级数的审敛法](/knowledge/maths/series/series-convergence-tests/)。

**与 $p$ 级数比较**

$\sum\dfrac1{n^2+1}$ 的通项小于 $\dfrac1{n^2}$，而 $p=2>1$ 的 $p$ 级数收敛，所以原级数收敛。

$\sum\dfrac1{\sqrt n}$ 就是 $p=\dfrac12\le1$ 的 $p$ 级数，发散。

[来源：常数项级数的概念与性质](/knowledge/maths/series/series/#examples)

三个标准级数到这里就齐了，它们的结论在12.2里还会作为比较对象出现。

## 课程约定

* 一般级数从 $n=1$ 写作 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$，等比级数从 $n=0$ 写；两种起点混用时以下标范围为准。起点不同只差有限项，按性质3不影响敛散性。
* $u_n$ 称为一般项（也写作通项），$s_n$ 称为部分和，$s-s_n$ 称为余项。
* 性质4的“加括号”是把相邻的项重新分组，各项的先后顺序保持不变。交换项的顺序可能改变级数的和，甚至改变敛散性；绝对收敛时才能任意重排。

## 重点与易错点

* 敛散性只看 $\{s_n\}$ 的极限是否存在。写出一个“和”的表达式不等于证明了收敛，要先确认部分和数列有极限。
* 性质3只说敛散性不变；收敛时级数的和会改变，不要读成“去掉有限项后和不变”。
* 性质4的逆命题不成立：加括号后收敛推不出原级数收敛，还需要 $u_n\to0$。
* 性质5是必要条件。$\lim u_n\ne0$ 可以直接判定发散，$\lim u_n=0$ 不能判定收敛，调和级数就是反例。
* 等比级数在 $|q|\ge1$ 时发散，包括 $q=1$ 和 $q=-1$ 这两个容易被单独漏掉的情形。

## 复习要点

先默写“一般项—部分和—部分和数列”这条链，再逐条复述五条性质。最后独立回答三个问题：等比级数在 $|q|<1$ 时的和是什么；调和级数为什么发散；$p$ 级数在 $p=1$ 时是哪个级数。三问都能答上，再进入12.2的审敛法。