# 12.2常数项级数的审敛法

## 阅读入口

* [常数项级数的审敛法](/knowledge/maths/series/series-convergence-tests/)
* [常数项级数的概念与性质](/knowledge/maths/series/series/)

## 学习安排

本节分四块：正项级数及其审敛法、交错级数、绝对收敛与条件收敛、柯西乘积。正项级数一块是主体。定理1先给出“部分和有上界”的充要条件，后面的比较、比较极限形式、比值、根值、极限审敛法都是在这条上派生出来的；教材先讲需要逐项比较的比较法，再讲只算极限的比值法与根值法，顺序本身提示了计算量的差别。

交错级数一块只给莱布尼茨定理一条判别法，绝对收敛一块把一般级数化归为正项级数。柯西乘积放在最后，为12.3幂级数的乘法做准备，本节只需掌握乘积项的下标结构。

## 正项级数的审敛法

### 比较审敛法

设 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 都是正项级数，且存在正整数 $N$，当 $n\ge N$ 时 $u_n\le v_n$。则

1. 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 也收敛；
2. 若 $\sum u_n$ 发散，则 $\sum v_n$ 也发散。

简记为：大的收敛则小的收敛，小的发散则大的发散。

**证明**

只需证第一条，第二条是它的逆否命题。设 $n\ge N$ 时 $u_n\le v_n$，并设 $\sum v_n$ 收敛。对 $n>N$，

$$
s_n^{(u)}=s_N^{(u)}+\sum_{k=N+1}^{n}u_k
\le s_N^{(u)}+\sum_{k=N+1}^{n}v_k
\le s_N^{(u)}+\sum_{k=N+1}^{\infty}v_k,
$$

右端是与 $n$ 无关的常数，所以 $\{s_n^{(u)}\}$ 有上界，$\sum u_n$ 收敛。

比较时只需从某一项之后成立，前有限项不影响敛散性。常用的比较对象是 $p$ 级数：

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}\quad
\begin{cases}
\text{收敛}, & p>1,\\
\text{发散}, & p\le1.
\end{cases}
$$

若存在常数 $C>0$ 使 $n\ge N$ 时 $u_n\le Cv_n$，则 $\sum v_n$ 收敛时 $\sum u_n$ 也收敛；若反向有 $u_n\ge cv_n$（$c>0$），则 $\sum v_n$ 发散时 $\sum u_n$ 也发散。两个方向同时成立，即

$$
cv_n\le u_n\le Cv_n\qquad(n\ge N)
$$

时，两级数同敛散。

### 比较审敛法的极限形式

设 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 都是正项级数，且 $v_n>0$。若

$$
\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\qquad(0<l<+\infty),
$$

则两级数同敛散。

特别地：

* 若 $l=0$ 且 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛；
* 若 $l=+\infty$ 且 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散。

**证明**

设 $0<l<+\infty$。取 $\varepsilon=\dfrac l2$，当 $n$ 充分大时

$$
\frac l2<\frac{u_n}{v_n}<\frac{3l}{2},
$$

即 $\dfrac l2v_n<u_n<\dfrac{3l}{2}v_n$。由比较审敛法，两级数同敛散。

极限形式不必逐项验证不等式，只需算两个通项之比的极限，因此比直接比较更常用。

> [!WARNING]
> 另外两种组合没有结论：$l=0$ 且 $\sum v_n$ 发散时，$\sum u_n$ 可能收敛也可能发散；$l=+\infty$ 且 $\sum v_n$ 收敛时同样无法判断。这两个方向必须换比较对象重新判断。

### 比值审敛法

设 $\sum u_n$ 是正项级数（$u_n>0$），若

$$
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho,
$$

则

1. 当 $\rho<1$ 时，级数收敛；
2. 当 $\rho>1$（或 $\rho=+\infty$）时，级数发散；
3. 当 $\rho=1$ 时，此方法失效，级数可能收敛也可能发散。

比值审敛法也称达朗贝尔判别法，对通项含阶乘 $n!$、幂 $a^n$ 等乘积结构的级数特别有效，因为相邻两项相除能大量约去公因子。

**证明**

设 $\rho<1$，取 $q$ 使 $\rho<q<1$。存在 $N$，当 $n\ge N$ 时 $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le q$，于是

$$
u_{N+k}\le u_Nq^k.
$$

右端构成收敛的等比级数，由比较审敛法，$\sum u_n$ 收敛。

设 $\rho>1$，则当 $n$ 充分大时 $u_{n+1}>u_n$，数列 $\{u_n\}$ 从某项起单调递增，不可能趋于 $0$，由收敛的必要条件，级数发散。

### 根值审敛法

设 $\sum u_n$ 是正项级数（$u_n\ge0$），若

$$
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho,
$$

则

1. 当 $\rho<1$ 时，级数收敛；
2. 当 $\rho>1$（或 $\rho=+\infty$）时，级数发散；
3. 当 $\rho=1$ 时，此方法失效。

根值审敛法也称柯西判别法，对通项本身是 $n$ 次幂的级数特别有效：开 $n$ 次方后底数直接显现。$\rho<1$ 时，同样由 $u_n<q^n$（$q$ 满足 $\rho<q<1$）与等比级数比较得到收敛。

> [!NOTE]
> 比值法与根值法的结论形式相同，都只覆盖 $\rho\ne1$ 的情形，且都以等比级数为比较对象。通项含阶乘时比值法约分方便，通项呈 $n$ 次幂时根值法更直接。

### 极限审敛法

设 $\sum u_n$ 是正项级数。若

$$
\lim_{n\to\infty}nu_n=l>0,
$$

则级数 $\sum u_n$ 发散。

更一般地，若

$$
\lim_{n\to\infty}n^pu_n=l\qquad(0<l<+\infty),
$$

则当 $p>1$ 时级数收敛，当 $p\le1$ 时级数发散。

其本质是取 $v_n=\dfrac1{n^p}$ 作比较对象，用比较审敛法的极限形式：此时 $\dfrac{u_n}{v_n}=n^pu_n\to l$，两级数同敛散，而 $p$ 级数在 $p>1$ 时收敛、$p\le1$ 时发散。

### 如何选择审敛法

1. **先检查一般项是否趋于零**

   若 $u_n$ 不趋于 $0$，由收敛的必要条件直接判定发散，不必再试其他判别法。

2. **按通项结构选判别法**

   通项含 $n!$、$a^n$ 等乘积结构时用比值审敛法；通项是 $n$ 次幂 $[f(n)]^n$ 时用根值审敛法；通项是 $n$ 的有理式或根式时，用极限审敛法或比较审敛法，以 $p$ 级数为比较对象。

3. **极限为 $1$ 或比较对象不好找时退回比较法**

   比值、根值法在 $\rho=1$ 时失效，此时对通项放缩，与已知敛散性的 $p$ 级数或等比级数逐项比较。

[来源：正项级数的审敛法](/knowledge/maths/series/series-convergence-tests/#properties)

正项级数的判据只管同号的情形，一旦正负交替就要另想办法。

## 交错级数

正负项交替出现的级数称为**交错级数**，一般形式为

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots
$$

或

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nu_n=-u_1+u_2-u_3+u_4-\cdots
$$

其中 $u_n>0$。

### 莱布尼茨定理

若交错级数 $\sum(-1)^{n-1}u_n$（$u_n>0$）满足

1. 数列 $\{u_n\}$ 单调递减，即 $u_{n+1}\le u_n$（$n=1,2,3,\dots$）；
2. $\lim_{n\to\infty}u_n=0$，

则该交错级数收敛，且其和 $s\le u_1$，余项满足

$$
|r_n|\le u_{n+1}.
$$

满足这两个条件的交错级数也称为**莱布尼茨级数**。

**证明**

记偶数项部分和 $s_{2n}$。由于

$$
s_{2n}=(u_1-u_2)+(u_3-u_4)+\cdots+(u_{2n-1}-u_{2n}),
$$

每个括号非负，$\{s_{2n}\}$ 单调不减；又

$$
s_{2n}=u_1-(u_2-u_3)-\cdots-(u_{2n-2}-u_{2n-1})-u_{2n}\le u_1,
$$

所以 $\{s_{2n}\}$ 有上界，收敛，设极限为 $s$，且 $s\le u_1$。

奇数项部分和 $s_{2n-1}$ 单调不增且有下界 $0$，也收敛；而 $s_{2n-1}-s_{2n}=u_{2n}\to0$，故 $\{s_{2n-1}\}$ 与 $\{s_{2n}\}$ 趋于同一极限 $s$，整个部分和数列收敛于 $s$。

余项 $r_n=s-s_n$ 是级数的尾部，符号由 $n$ 的奇偶决定；对尾部按同样的括号分组，即得 $|r_n|\le u_{n+1}$。

> [!WARNING]
> **单调性条件不能省**
>
> 只验证 $u_n\to0$ 不足以判定交错级数收敛。取 $u_{2k-1}=\dfrac1k$、$u_{2k}=\dfrac1{k^2}$，则 $u_n>0$、$u_n\to0$，但级数 $\sum(-1)^{n-1}u_n$ 的正项部分为调和级数、负项部分收敛，部分和趋于 $+\infty$，级数发散。
>
> 莱布尼茨定理给出的是充分条件，不是必要条件。

[来源：交错级数](/knowledge/maths/series/alternating-series/#definition)

莱布尼茨定理要求交错，那么不交错的级数怎么办？下一步是考察绝对值级数。

## 绝对收敛与条件收敛

对一般级数 $\sum u_n$（$u_n$ 可正可负），考察各项取绝对值后得到的正项级数 $\sum|u_n|$：

* 若 $\sum|u_n|$ 收敛，则称 $\sum u_n$ **绝对收敛**；
* 若 $\sum u_n$ 收敛，但 $\sum|u_n|$ 发散，则称 $\sum u_n$ **条件收敛**。

**定理**：若级数 $\sum u_n$ 绝对收敛，则 $\sum u_n$ 必定收敛。

**证明**

令

$$
v_n=\frac12\bigl(u_n+|u_n|\bigr),
$$

则 $0\le v_n\le|u_n|$。由 $\sum|u_n|$ 收敛及比较审敛法，$\sum v_n$ 收敛。又 $u_n=2v_n-|u_n|$，由收敛级数的线性性质，$\sum u_n$ 收敛。

> [!WARNING]
> 逆命题不成立：收敛不一定绝对收敛。$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ 由莱布尼茨定理收敛，但 $\sum\dfrac1n$ 是发散的调和级数，所以它只是条件收敛。

例如，$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 绝对收敛，因为 $\sum\dfrac1{n^2}$ 是 $p=2$ 的收敛的 $p$ 级数；$\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ 条件收敛。判断条件收敛要两步：先证原级数收敛，再证绝对值级数发散。

[来源：绝对收敛与条件收敛](/knowledge/maths/series/absolute-convergence/#definition)

判定级数的几条路线到这里都齐了；课程约定按定理编号把它们串成一条线。

## 柯西乘积

设两个级数分别为 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$。构造级数 $\sum w_n$，其中

$$
w_n=u_1v_n+u_2v_{n-1}+\cdots+u_nv_1=\sum_{k=1}^{n}u_kv_{n+1-k}.
$$

级数 $\sum w_n$ 称为 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 的**柯西乘积**。它的第 $n$ 项把所有下标之和为 $n+1$ 的乘积 $u_iv_j$ 汇总在一起。

若两个级数都收敛，且至少一个绝对收敛，则柯西乘积收敛，其和等于两个级数的和的乘积。仅有两个级数收敛不足以保证柯西乘积收敛。

[来源：级数的柯西乘积](/knowledge/maths/series/cauchy-product/#definition)

## 课程约定

* 教材的定理编号在本节连续排到定理8：定理1是正项级数收敛的充要条件，定理2至定理6是正项级数的判别法，定理7是莱布尼茨定理，定理8是绝对收敛推出收敛。
* 比值审敛法又称达朗贝尔判别法，根值审敛法又称柯西判别法。教材在括号中给出别名，正文统一用“比值”“根值”。
* 比较审敛法默认两个级数都是正项级数，不等式只需在 $n\ge N$ 之后成立。前有限项不影响结论，这一点与12.1的性质3一致。
* 极限审敛法取 $v_n=\dfrac1{n^p}$ 作为比较对象。使用时把 $p$ 级数的结论一并写出，过程更完整。

## 重点与易错点

* 比较审敛法的方向只有两条：大收敛推小收敛，小发散推大发散，反方向没有结论。教材推论中的“同敛散”需要双向估计 $cv_n\le u_n\le Cv_n$；只给出一边时，只能得到一个方向的结论。
* 比值法与根值法在 $\rho=1$ 时失效，要换方法，不能把 $\rho=1$ 当作收敛或发散。通项含阶乘、$a^n$ 时优先比值法，通项是 $n$ 次幂时优先根值法。
* 极限审敛法要求 $n^pu_n\to l$ 且 $0<l<+\infty$。$l=0$ 或 $l=+\infty$ 时不能套用结论，需另找比较对象。
* 莱布尼茨定理的两个条件缺一不可。单调性不能省，只验证 $u_n\to0$ 不足以判定交错级数收敛；定理给的是充分条件，不是必要条件。
* 绝对收敛与条件收敛都要求原级数收敛，区别在 $\sum|u_n|$。判断条件收敛要走两步：先证 $\sum u_n$ 收敛，再证 $\sum|u_n|$ 发散。
* 交错级数不能直接套用正项级数的判别法。先看绝对值级数是否收敛，不行再用莱布尼茨定理。

## 复习要点

按“先看 $u_n$ 是否趋于零 → 正项级数选哪个判别法 → 交错级数用莱布尼茨 → 一般级数先判绝对收敛”的顺序走一遍。重点回看两处：比较审敛法推论的方向，以及 $\rho=1$ 时比值法与根值法的失效说明。做题后把每个级数用到的判别法写在题号旁，便于发现自己是否在 $\rho=1$ 处硬套公式。