# 12.3幂级数

## 阅读入口

* [函数项级数](/knowledge/maths/series/function-series/)
* [幂级数](/knowledge/maths/series/power-series/)
* [常数项级数的审敛法](/knowledge/maths/series/series-convergence-tests/)

## 学习安排

教材先由函数项级数引入收敛点、收敛域与和函数，再把“每一项都是幂函数”的特殊情形抽出来定义幂级数。核心是收敛性：阿贝尔定理把收敛范围压缩成以原点为中心的区间，收敛半径的公式则由比值或根值审敛法作用在绝对值级数上得到。

本节的运算与分析性质都建立在“收敛区间内绝对收敛”之上。建议的阅读顺序是：先接受阿贝尔定理的结论并理解它为什么只需要一个收敛点，再自己用比值法推一遍 $R=\dfrac1\rho$，最后看逐项求导、逐项积分如何把陌生的级数化成等比级数求和。

## 函数项级数

若级数的每一项都是定义在区间 $I$ 上的函数，

$$
u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots,
$$

则称它为**函数项级数**。对 $I$ 上的每一点 $x_0$，代入后得到一个常数项级数 $\sum u_n(x_0)$，它可能收敛也可能发散。

若 $\sum u_n(x_0)$ 收敛，则称 $x_0$ 为函数项级数的**收敛点**，所有收敛点构成的集合称为**收敛域**。在收敛域上，级数的和是 $x$ 的函数

$$
s(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\lim_{n\to\infty}s_n(x),
$$

称为**和函数**，其中 $s_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)$ 是**部分和函数**。

函数项级数在每个收敛点上都化归为常数项级数，所以它的收敛域由逐点判断常数项级数得到；和函数则把这些点的和收集成一个函数。

[来源：函数项级数](/knowledge/maths/series/function-series/#definition)

## 幂级数的定义

形如

$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots
$$

的函数项级数称为 $x$ 的**幂级数**，常数 $a_0,a_1,a_2,\dots$ 称为幂级数的**系数**。

更一般地，形如

$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
$$

的级数称为 $(x-x_0)$ 的幂级数。令 $t=x-x_0$，它就化为 $\sum a_nt^n$，所以讨论收敛性时可以只处理 $x_0=0$ 的情形，最后把区间平移回去。

[来源：幂级数](/knowledge/maths/series/power-series/#definition)

幂级数是特殊的函数项级数，它的收敛域有固定形状，下一段讨论这件事。

## 收敛性与收敛半径

### 收敛性与收敛半径

#### 阿贝尔定理

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$。

1. 若它在 $x=x_0$（$x_0\ne0$）处收敛，则对满足 $|x|<|x_0|$ 的一切 $x$，该幂级数绝对收敛；
2. 若它在 $x=x_0$ 处发散，则对满足 $|x|>|x_0|$ 的一切 $x$，该幂级数发散。

**证明**

设 $\sum a_nx_0^n$ 收敛。由收敛的必要条件，$a_nx_0^n\to0$，于是存在常数 $M$，使

$$
|a_nx_0^n|\le M
$$

对一切 $n$ 成立。对满足 $|x|<|x_0|$ 的 $x$，记 $q=\left|\dfrac{x}{x_0}\right|<1$，则

$$
|a_nx^n|=|a_nx_0^n|\cdot q^n\le Mq^n.
$$

$\sum Mq^n$ 是收敛的等比级数，由比较审敛法，$\sum|a_nx^n|$ 收敛，即原幂级数在 $x$ 处绝对收敛。

第二条用反证：若存在 $|x|>|x_0|$ 使级数在 $x$ 处收敛，则由第一条，级数在 $x_0$ 处绝对收敛，与题设发散矛盾。

**推论**：若幂级数 $\sum a_nx^n$ 不是只在 $x=0$ 处收敛，也不是在整个实数轴上收敛，则存在正数 $R$，使得

* 当 $|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛；
* 当 $|x|>R$ 时，幂级数发散；
* 当 $x=R$ 与 $x=-R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散，需要单独判定。

这个 $R$ 称为幂级数的**收敛半径**，开区间 $(-R,R)$ 称为**收敛区间**。把端点 $x=\pm R$ 的敛散性判定之后，收敛区间连同收敛的端点构成**收敛域**。

若幂级数只在 $x=0$ 处收敛，规定 $R=0$；若它对一切 $x$ 都收敛，规定 $R=+\infty$。

> [!WARNING]
> **端点没有一般结论**
>
> 阿贝尔定理只断言开区间 $(-R,R)$ 内绝对收敛、$|x|>R$ 时发散。在 $x=\pm R$ 处，幂级数可能绝对收敛、条件收敛或发散，必须把 $x=\pm R$ 代入原级数，按常数项级数重新判断。

#### 收敛半径的求法

设幂级数 $\sum a_nx^n$ 的系数满足

$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho
\qquad\text{或}\qquad
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho,
$$

则

1. 当 $0<\rho<+\infty$ 时，$R=\dfrac1\rho$；
2. 当 $\rho=0$ 时，$R=+\infty$；
3. 当 $\rho=+\infty$ 时，$R=0$。

**证明**

对 $x\ne0$，把比值审敛法用于绝对值级数 $\sum|a_nx^n|$：

$$
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right|
=\rho|x|.
$$

当 $\rho|x|<1$，即 $|x|<\dfrac1\rho$ 时，绝对值级数收敛；当 $\rho|x|>1$ 时，通项不趋于 $0$，幂级数发散。所以 $R=\dfrac1\rho$。用根值审敛法对 $\sum|a_nx^n|$ 开 $n$ 次方，得到同样的 $\rho|x|$，结论相同。

$\rho=0$ 时对任何 $x$ 都有 $\rho|x|<1$，$R=+\infty$；$\rho=+\infty$ 时对任何 $x\ne0$ 都有 $\rho|x|>1$，$R=0$。

> [!NOTE]
> 公式只给收敛半径，不给端点。求收敛域要分三步：由系数极限算 $R$；写出收敛区间 $(-R,R)$；把 $x=\pm R$ 代入原级数判断端点。

### 幂级数的运算

设 $\sum a_nx^n$ 的收敛半径为 $R_1$，$\sum b_nx^n$ 的收敛半径为 $R_2$，令 $R=\min(R_1,R_2)$。在 $(-R,R)$ 内可以进行下列运算。

**加法与减法**：

$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\pm\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n
=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n\pm b_n)x^n.
$$

**乘法（柯西乘积）**：

$$
\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\Bigr)\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\Bigr)
=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n,\qquad
c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}.
$$

**除法**：当 $b_0\ne0$ 且 $|x|$ 足够小时，商可以写成幂级数 $\sum d_nx^n$，系数 $d_n$ 用待定系数法由递推关系确定。

> [!NOTE]
> $R=\min(R_1,R_2)$ 只是保证运算在 $(-R,R)$ 内成立的区间，运算结果的收敛半径可以更大。例如两个系数互为相反数的幂级数相加得到零级数，它对一切 $x$ 收敛。

### 分析性质

幂级数在收敛区间内的三条分析性质，是它区别于一般函数项级数的关键。

**连续性**：和函数 $s(x)=\sum a_nx^n$ 在收敛区间 $(-R,R)$ 内连续。若幂级数在端点 $x=R$（或 $x=-R$）处也收敛，则和函数在该端点处单侧连续。

**逐项积分**：对任意 $x\in(-R,R)$，

$$
\int_0^xs(t)\,\mathrm{d}t
=\int_0^x\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n\Bigr)\mathrm{d}t
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1},
$$

逐项积分后所得幂级数的收敛半径仍为 $R$。

**逐项求导**：和函数在 $(-R,R)$ 内可导，且

$$
s'(x)=\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\Bigr)'
=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1},
$$

逐项求导后所得幂级数的收敛半径仍为 $R$。

> [!NOTE]
> 逐项求导、逐项积分保持收敛半径不变，但端点处的敛散性可能改变。例如 $\sum\dfrac{x^n}{n}$ 的收敛半径是 $1$，在 $x=-1$ 处收敛；逐项求导得到 $\sum x^{n-1}$，它在 $x=-1$ 处发散。

这三条性质给出了求幂级数和函数的常用路线：先逐项求导，把系数中的 $n$ 消去，化成可以套用等比级数公式的形式，求和后再逐项积分还原；有时反过来先积分再求导更方便。

[来源：幂级数](/knowledge/maths/series/power-series/#properties)

收敛半径定下范围之后，才能在区间内做运算与求导。

分析性质同样包含在上面的性质中；课程约定把 $R$、收敛区间与收敛域三个名称分开。

## 课程约定

* 幂级数 $\sum a_nx^n$ 的收敛半径记作 $R$；收敛区间指开区间 $(-R,R)$，收敛域是收敛区间再加上端点判定后的点集。
* 教材规定 $R=0$ 表示级数只在 $x=0$ 处收敛，$R=+\infty$ 表示对一切 $x$ 收敛。
* 一般形式 $\sum a_n(x-x_0)^n$ 通过平移 $t=x-x_0$ 化为 $\sum a_nt^n$，后续按 $x_0=0$ 处理。
* 求收敛半径用系数的比值或根值，求收敛域还要把 $x=\pm R$ 代回原级数，按常数项级数判定。
* 柯西乘积在12.2末尾已经定义，本节只把它用在幂级数乘法上，系数按 $c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$ 写出。

## 重点与易错点

* 收敛半径公式给的是 $R$，不是收敛域。端点必须单独代入，不能默认收敛或发散。
* 阿贝尔定理只断言 $|x|<|x_0|$ 时绝对收敛、$|x|>|x_0|$ 时发散，$x=\pm|x_0|$ 处没有一般结论。
* 逐项求导、逐项积分保持收敛半径不变，但端点处的敛散性可能改变。用求导求和后再积分时，端点要重新检查。
* 两个幂级数相加减，$R=\min(R_1,R_2)$ 只保证在 $(-R,R)$ 内可以逐项运算，运算结果的收敛半径可能更大。
* 除法要先确认常数项 $b_0\ne0$，再用待定系数确定系数，不能把两个级数直接逐项相除。

## 复习要点

按“函数项级数 → 幂级数 → 阿贝尔定理 → 收敛半径 → 收敛域 → 四则运算 → 分析性质”复述一遍，重点检查每一步用的是绝对收敛还是普通收敛。练习时对每个幂级数都写出 $R$、端点判定和最终收敛域三行，避免只写半径就结束。求和分析时先判断该用求导还是积分，再决定是否需要回代端点。