# 2.2函数的求导法则

## 阅读入口

* [导数的定义与几何意义](/knowledge/maths/derivatives/derivative/)
* [基本求导公式与四则运算法则](/knowledge/maths/derivatives/derivative-formulas/)
* [复合函数的链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)
* [隐函数求导](/knowledge/maths/derivatives/implicit-differentiation/)
* [反函数的导数](/knowledge/maths/derivatives/inverse-function-derivative/)
* [参数方程所确定函数的导数](/knowledge/maths/derivatives/parametric-derivative/)
* [幂指函数](/knowledge/maths/limits/power-exponential-function/)

## 学习安排

教材先列基本初等函数的导数公式，再讲四则运算法则，最后把复合、隐函数、反函数和参数方程作为“其他求导方法”集中处理。这样安排的用意是：先把公式表练熟，再把复杂函数拆成基本函数的组合。

链式法则是本节的分水岭。后面的隐函数求导、反函数求导和参数方程求导都要用到它；如果这一节能把“分层—分别求导—相乘”练顺，后面的方法只是换一种书写形式。

幂指函数 $y=u(x)^{v(x)}$ 独立于基本初等函数，因此用对数求导法处理；更完整的讨论见[幂指函数](/knowledge/maths/limits/power-exponential-function/)。

## 基本公式与四则运算

### 基本初等函数的导数

| 函数 $y=f(x)$               | 导函数 $y'=f'(x)$                   | 条件                     |
| :------------------------ | :------------------------------- | :--------------------- |
| $C$                       | $0$                              | $C$ 为常数                |
| $x^n$                     | $nx^{n-1}$                       | $n$ 为任意实数              |
| $a^x$                     | $a^x\ln a$                       | $a>0$ 且 $a\ne 1$       |
| $e^x$                     | $e^x$                            | —                      |
| $\log_a x$                | $\dfrac{1}{x\ln a}$              | $a>0$ 且 $a\ne 1$，$x>0$ |
| $\ln x$                   | $\dfrac{1}{x}$                   | $x>0$                  |
| $\sin x$                  | $\cos x$                         | —                      |
| $\cos x$                  | $-\sin x$                        | —                      |
| $\tan x$                  | $\sec^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$   | $\cos x\ne 0$          |
| $\cot x$                  | $-\csc^2 x=-\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $\sin x\ne 0$          |
| $\arcsin x$               | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$        | $\lvert x\rvert<1$     |
| $\arccos x$               | $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$       | $\lvert x\rvert<1$     |
| $\arctan x$               | $\dfrac{1}{1+x^2}$               | —                      |
| $\operatorname{arccot} x$ | $-\dfrac{1}{1+x^2}$              | —                      |

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### 四则运算的求导法则

设 $u=u(x)$、$v=v(x)$ 都可导，则

$$
[Cu]'=Cu',\qquad [u\pm v]'=u'\pm v',
$$

$$
[uv]'=u'v+uv',\qquad
\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad (v\ne 0).
$$

三个函数相乘时，

$$
[uvw]'=u'vw+uv'w+uvw'.
$$

商法则有一个常用特例：

$$
\left[\frac{C}{v}\right]'=-\frac{Cv'}{v^2}\quad (v\ne 0).
$$

> [!WARNING]
> 求导法则只保证“可导函数的和、差、积、商仍可导”。使用商法则前要先确认分母在该点不为零；使用幂函数公式时，指数可以是任意实数，但底数为负数时定义域可能受限。

[来源：基本求导公式与四则运算法则](/knowledge/maths/derivatives/derivative-formulas/#formulas)

## 复合函数

设 $u=g(x)$ 在 $x$ 处可导，$y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 处可导，则复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $x$ 处可导，且

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},
$$

或写成

$$
[f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x).
$$

<!-- more -->

也就是说，复合函数对自变量的导数，等于外层函数对内层函数的导数，乘以内层函数对自变量的导数。

### 多重复合

若 $y=f(u)$、$u=g(v)$、$v=h(x)$，则

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}
\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}
\cdot\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}.
$$

从最外层开始逐层求导，每穿过一层就乘上该层内层函数的导数。

[来源：复合函数的链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/#theorem)

## 记号约定

* 本节同时使用 $y'$、$f'(x)$ 和 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。前两者强调函数关系，后者强调对自变量求导。
* 对复合函数使用 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ 时，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}$ 中的 $y$ 是外层函数，$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ 中的 $u$ 是内层函数。
* 隐函数求导的结果允许同时含 $x$ 和 $y$，不需要先解出 $y$。

## 易错点

* 基本公式的成立条件不能省略：$a^x$ 要求 $a>0$ 且 $a\ne 1$，$\ln x$ 要求 $x>0$，商法则要求分母不为零。
* 链式法则最常见的错误是漏乘内层导数。求导前先写出内外层，比直接心算更稳。
* 隐函数求导时，对含 $y$ 的项要乘 $y'$，不能把 $y$ 当常数。
* 反函数求导的两个导数取自互相对应的点：原函数在 $x$ 处，反函数在 $y=f(x)$ 处。
* 参数方程求导要求 $\varphi'(t)\ne 0$；竖直切线处 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 不存在。

## 复习要点

这一节的方法可以统一成一句话：把陌生函数拆成已知函数的复合，再逐层乘上内层导数。隐函数、反函数、参数方程只是“拆”的方式不同。