# 3.1微分中值定理

## 阅读入口

* [费马引理](/knowledge/maths/derivatives/fermat-extremum/)
* [罗尔定理](/knowledge/maths/derivatives/rolle-theorem/)
* [拉格朗日中值定理](/knowledge/maths/derivatives/mean-value-theorems/)
* [柯西中值定理](/knowledge/maths/derivatives/cauchy-mean-value/)
* [导数的定义与几何意义](/knowledge/maths/derivatives/derivative/)

## 四个中值定理

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若该邻域内恒有 $f(x)\le f(x_0)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处取得**极大值**；若恒有 $f(x)\ge f(x_0)$，则称取得**极小值**，两者统称**极值**。

设 $f$ 在 $x_0$ 处取得极值。若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则

$$
f'(x_0)=0.
$$

几何上，在曲线光滑的前提下，极值点处的切线是水平的。

> [!WARNING]
> 费马引理只断言“可导的极值点导数为零”，反过来不成立。$f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处有 $f'(0)=0$，但 $x=0$ 不是极值点：$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。

[来源：费马引理](/knowledge/maths/derivatives/fermat-extremum/#definition)

若 $f$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. $f(a)=f(b)$，

则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

$$
f'(\xi)=0.
$$

几何上，一段连续光滑、两端等高的曲线弧上，至少有一点的切线是水平的。

[来源：罗尔定理](/knowledge/maths/derivatives/rolle-theorem/#definition)

若 $f$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导，

则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

$$
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),
$$

或写成

$$
f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
$$

几何上，连接端点 $A(a,f(a))$ 与 $B(b,f(b))$ 的弦斜率为 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$；曲线弧 $AB$ 上至少存在一点 $C(\xi,f(\xi))$，该点处的切线平行于这条弦。

令 $\Delta x=b-a$，$\Delta y=f(b)-f(a)$，拉格朗日公式就写成

$$
\Delta y=f'(\xi)\,\Delta x.
$$

它精确地表达了函数增量与自变量增量的关系，因此也称为**有限增量公式**。注意它与微分的近似式 $\Delta y\approx f'(a)\Delta x$ 不同：有限增量公式是等式，只是中值点 $\xi$ 的位置未知。

[来源：拉格朗日中值定理](/knowledge/maths/derivatives/mean-value-theorems/#definition)

若 $f$ 与 $g$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. 对任意 $x\in(a,b)$，$g'(x)\ne0$，

则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
$$

把 $x$ 看作参数，柯西中值定理就是参数方程 $X=g(x)$、$Y=f(x)$ 所表示的曲线上的中值定理：曲线上至少存在一点，其切线斜率等于端点连线的斜率。

> [!NOTE]
> 条件3保证 $g(b)\ne g(a)$，因此分母不为零。若 $g(b)=g(a)$，对 $g$ 用罗尔定理会得到某个内点处 $g'=0$，与条件3矛盾。

[来源：柯西中值定理](/knowledge/maths/derivatives/cauchy-mean-value/#definition)

教材把费马引理也算进这一组，是为了让罗尔定理的证明有落脚点；做题时真正用得最多的是后三条。

## 条件强弱与选择

### 条件与结论的强弱

四条结论不是并列的，它们处在同一条推理链上：

$$
\text{费马引理}\ \longrightarrow\ \text{罗尔定理}\ \longrightarrow\ \text{拉格朗日中值定理}\ \longrightarrow\ \text{柯西中值定理}.
$$

* 与费马引理相比，罗尔定理要求函数在整个闭区间上连续、在开区间内可导，并多要求端点等高；但结论不再依赖事先知道极值点在哪里。
* 拉格朗日定理去掉 $f(a)=f(b)$；罗尔定理是它取 $f(a)=f(b)$ 时的特例。
* 柯西定理把拉格朗日定理中的自变量 $x$ 换成 $g(x)$，取 $g(x)=x$（此时 $g'(x)=1$）就回到拉格朗日定理。

因此三者通常写成

$$
\text{罗尔定理}\subset\text{拉格朗日中值定理}\subset\text{柯西中值定理},
$$

这里的包含关系指“左边的定理是右边的特例”，并不表示证明的先后。实际证明方向相反：罗尔定理是证明拉格朗日定理与柯西定理的起点，两条推广都靠辅助函数把结论化成 $F'(\xi)=0$。

### 怎么选

1. 出现“端点函数值相等”“方程有重根”“两个零点之间”等条件时，先试罗尔定理。
2. 只涉及一个函数，要把区间端点值与某点导数联系起来时，用拉格朗日中值定理，常写成有限增量公式。
3. 出现两个函数之比、两个增量之比，或要证明形如 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ 的等式时，用柯西中值定理。
4. 定理只保证中值点存在，不保证唯一；题目要求 $\xi$ 的具体位置时，那是解方程，不是直接引用结论。

### 常用推论

若 $f$ 在区间 $I$ 上连续、在 $I$ 内部可导，且 $f'\equiv0$，则 $f$ 在 $I$ 上为常数。证明是对任意 $x_1<x_2$ 在 $[x_1,x_2]$ 上用拉格朗日中值定理：

$$
f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)=0.
$$

由此，若两个函数在区间上导数相等，则它们在该区间上相差一个常数。

> [!CAUTION]
> 中值定理的条件缺一不可：闭区间连续、开区间可导，柯西定理还要求 $g'\ne0$。只验证了连续性就套用结论，是这类证明题里最常见的失分点。

做证明题时，本课程要求在引用前把所选定理的条件逐条对上；只写“由中值定理”会被视为跳步。

## 学习安排

教材按“费马引理 → 罗尔定理 → 拉格朗日中值定理 → 柯西中值定理”的顺序展开，每一条都在上一条的基础上放宽或改写条件：费马引理先处理极值点，罗尔定理把它推广到两端等高的曲线弧，拉格朗日定理取消端点等高的限制，柯西定理再把单个函数换成两个函数。第一遍阅读先记住每条定理多出的条件，再看结论的形式；四个定理的条件、结论和证明分别见上面的知识点。

证明路线与阅读顺序相反。逻辑上从罗尔定理出发，用辅助函数造出满足罗尔条件的新函数，得到拉格朗日定理与柯西定理。做证明题时先想“能否构造辅助函数，把要证的式子化成 $F'(\xi)=0$”。

## 课程约定

* 中值点统一记作 $\xi$，满足 $\xi\in(a,b)$。口述时读作“K-see”，答题时只写符号，不写读音。
* 拉格朗日公式在教材里有导数形式与增量形式两种写法，增量形式通常称为**有限增量公式**。两种写法答题都能用，公式本身见[拉格朗日中值定理](/knowledge/maths/derivatives/mean-value-theorems/)。
* 连续性与可导性分区间写：闭区间 $[a,b]$ 上要求连续，开区间 $(a,b)$ 内要求可导，端点不要求可导。
* 柯西定理只写 $g'(x)\ne0$ 这一条附加条件，不单列 $g(b)\ne g(a)$：后者由 $g'\ne0$ 与罗尔定理推出。

## 易错点

* 不要用 $f'(x_0)=0$ 反推极值。[费马引理](/knowledge/maths/derivatives/fermat-extremum/)里的 $y=x^3$ 反例说明：导数为零只是极值的必要条件，还要看导数在两侧是否变号。
* 罗尔定理的三个条件要逐条核对。缺可导性时结论可能不成立，[罗尔定理](/knowledge/maths/derivatives/rolle-theorem/)页面用 $|x|$ 在 $[-1,1]$ 上的例子说明了这一点。
* 中值定理只保证 $\xi$ 存在，不保证唯一，也不给出位置；题目要求 $\xi$ 时是解方程，不能把存在性当成答案。
* 柯西定理不能把两个函数分别用拉格朗日定理再相除：那样得到的两个中值点未必相同，比值也就对不上。

## 复习要点

判断用哪条定理时，先看端点函数值是否相等，再看向导条件：端点等高用罗尔定理，只涉及一个函数用拉格朗日定理，出现两个函数或其比值用柯西定理。复习时把辅助函数的构造单独练一遍，特别是柯西定理里用 $g(x)-g(a)$ 配平的那种。