# 3.3泰勒公式

## 阅读入口

* [泰勒公式与麦克劳林展开](/knowledge/maths/derivatives/taylor-formula/)
* [等价无穷小](/knowledge/maths/limits/equivalent-infinitesimals/)
* [极限的四则运算与比较法则](/knowledge/maths/limits/limit-laws/)

## 泰勒公式与余项

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内具有直到 $n$ 阶的导数。以 $x_0$ 为展开点，称

$$
P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
$$

为 $f$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 次**泰勒多项式**，并把

$$
f(x)=P_n(x)+R_n(x)
$$

称为 $f$ 在 $x_0$ 处的**泰勒公式**，其中 $R_n(x)$ 是**余项**，表示用多项式代替函数时产生的误差。

泰勒多项式在 $x_0$ 处与原函数有相同的函数值和直到 $n$ 阶的导数值，所以它在展开点附近贴近原函数；离 $x_0$ 越远，误差通常越大。

### 两种余项

**佩亚诺余项**：

$$
R_n(x)=o\bigl((x-x_0)^n\bigr)\qquad(x\to x_0).
$$

这里 $o$ 表示高阶无穷小，即 $\lim_{x\to x_0}\dfrac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0$。它只说明误差是比 $(x-x_0)^n$ 高阶的无穷小，适合讨论 $x\to x_0$ 时的极限与无穷小阶。

**拉格朗日余项**：若 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间还有 $n+1$ 阶导数，则对介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个 $\xi$，

$$
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.
$$

它给出了误差的表达式，适合估计近似计算的上界。

> [!NOTE]
> 两种余项的前提不同：佩亚诺余项只需要 $f$ 在 $x_0$ 处具有 $n$ 阶导数，拉格朗日余项要求 $f$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间具有 $n+1$ 阶导数。拉格朗日余项可由[柯西中值定理](/knowledge/maths/derivatives/cauchy-mean-value/)证明。

### 麦克劳林公式

取展开点 $x_0=0$，泰勒公式成为**麦克劳林公式**：

$$
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x).
$$

[来源：泰勒公式与麦克劳林展开](/knowledge/maths/derivatives/taylor-formula/#definition)

教材把这一节排在中值定理之后；“重点”一段把两种余项与三类应用对应起来，读展开式前先看会用哪一种余项。

## 七个常用展开

以下展开式都在 $x\to0$ 时成立，余项写成佩亚诺形式。

| 函数             | 麦克劳林展开式                                                                                                                                                  |
| :------------- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $e^x$          | $1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)$                                                                                      |
| $\sin x$       | $x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+o(x^{2k})$                                                                 |
| $\cos x$       | $1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{k}\dfrac{x^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2k+1})$                                                                     |
| $\ln(1+x)$     | $x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n)$                                                                  |
| $(1+x)^\alpha$ | $1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$                                             |
| $\arctan x$    | $x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\cdots+(-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{2k-1}+o(x^{2k})$                                                       |
| $\arcsin x$    | $x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\cdot\dfrac{x^7}{7}+\cdots+o(x^{2k})$ |

> [!NOTE]
> $\sin x$ 的展开只含奇次幂，$\cos x$ 的展开只含偶次幂；两者的系数符号交替，第二项分别是 $-\dfrac{x^3}{3!}$ 与 $-\dfrac{x^2}{2!}$。

$\arctan x$ 与 $\arcsin x$ 的展开不由逐阶求导直接得到，而是先展开导函数再逐项积分：

$$
(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots,
$$

右边是公比为 $-x^2$ 的几何级数；

$$
(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-1/2},
$$

右边用 $\alpha=-\dfrac12$ 的广义二项式展开。逐项积分后分别得到上表中的两个展开式，积分常数由 $x=0$ 处函数值为 $0$ 确定。

$(1+x)^\alpha$ 的展开称为广义二项式展开，$\alpha$ 为任意实数。当 $\alpha$ 是正整数 $m$ 时，$k>m$ 的各项系数为零，展开式退化为普通的二项式定理。

[来源：泰勒公式与麦克劳林展开](/knowledge/maths/derivatives/taylor-formula/#expansions)

这张表是本节的默写内容；“课程约定”对阶乘、$\alpha$ 连乘和阶数选择的要求都针对它。

## 学习安排

教材先给出 $x_0$ 处的泰勒公式与佩亚诺、拉格朗日两种余项，再取 $x_0=0$ 得到麦克劳林公式，最后集中列出七个常用展开式。阅读顺序与教材一致：先分清多项式部分与余项部分，再背展开式。余项决定公式能用来做什么——求极限只需佩亚诺余项，估计近似误差必须用拉格朗日余项。

七个展开式中，$e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\ln(1+x)$、$(1+x)^\alpha$ 的系数由逐阶求导得到；$\arctan x$ 与 $\arcsin x$ 的展开由导函数展开后逐项积分得到。[泰勒公式与麦克劳林展开](/knowledge/maths/derivatives/taylor-formula/)页面保留了完整推导和全部展开式。

拉格朗日余项用[柯西中值定理](/knowledge/maths/derivatives/cauchy-mean-value/)证明；这里只需要记住两种余项各自的前提和用途。

## 课程约定

* 常用展开式一律在 $x\to0$ 下使用，余项写佩亚诺形式 $o(x^n)$；需要换到 $x\to x_0$ 时先令 $t=x-x_0$，把展开点移到 $0$。
* 默写展开式时保留阶乘和 $\alpha$ 的连乘形式，不把 $n!$、$(2k)!$ 展开成数值。
* 极限计算中按分母的最低次幂决定展开阶数；分子出现同阶项相消时再往下一阶展开，余项统一留在最后一项。
* 反三角函数的两个展开式通常记到三阶就够用，需要更高阶时由导数展开现推。

## 重点

* 写展开式时先算展开点处的函数值与各阶导数，再逐项除以对应的阶乘；系数算错比余项写错更常见。
* 三个应用是：求 $\dfrac{0}{0}$ 型极限、比较无穷小的阶、近似计算与误差估计。前两个用佩亚诺余项，第三个用拉格朗日余项。
* 与等价无穷小的关系：等价无穷小是展开式取最低阶非零项的结果；替换失效时回到展开，这是更通用的做法。

## 易错点

* 佩亚诺余项只说明误差是比 $(x-x_0)^n$ 高阶的无穷小，给不出具体上界，不能用来估计误差。
* 阶数不足是最常见的错误：和差型极限中各项展开到同一阶后仍可能相消，必须再展开一阶。
* $\sin x$ 只有奇次项、$\cos x$ 只有偶次项，符号交替，写完第二项后要检查符号。
* 广义二项式展开的系数分子从 $\alpha$ 开始逐个减一，共 $n$ 个因子，分母是 $n!$；$\alpha$ 为任意实数，不要求是正整数。
* 用拉格朗日余项估计误差时，$\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，要把 $\bigl|f^{(n+1)}(\xi)\bigr|$ 在该区间上放大到最大值，不能只代入 $x_0$。

## 复习要点

复习时先默写七个展开式，再各做一道“展开到指定阶”的题。判断展开到几阶的方法：分母是 $x^k$ 就展开到 $x^k$；分子中同阶项相消时，再往下一阶展开。