# 4.2换元积分法

## 阅读入口

* [换元积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-substitution/)

## 两类换元

不定积分的基本公式只覆盖少数形式。以下用 $\int f(x)\,\mathrm{d}x$ 表示 $f$ 的全体原函数，$C$ 为任意常数；基本积分表见[基本积分公式](/knowledge/maths/integrals/integral-formulas/)。换元积分法（也称变量代换法）是求不定积分的主要方法之一，它通过引入新的积分变量，把复杂的被积表达式化成基本积分表中的形式。两种换元的方向不同，依据都是复合函数求导的[链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)。

### 第一类换元法

设 $F'(u)=f(u)$，且 $u=\varphi(x)$ 在讨论的区间上可导。则

$$
\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=F(\varphi(x))+C.
$$

这里要求 $f$ 在 $\varphi$ 的取值范围内有原函数。公式的关键是把 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ 认成 $\mathrm{d}\varphi(x)$，再对 $u=\varphi(x)$ 使用基本积分表。

**证明**

由链式法则，

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(\varphi(x))
=F'(\varphi(x))\varphi'(x)
=f(\varphi(x))\varphi'(x).
$$

所以 $F(\varphi(x))$ 是 $f(\varphi(x))\varphi'(x)$ 的一个原函数，右端加上任意常数即得全体原函数。

#### 第二类换元法

设 $x=\psi(t)$ 在区间上单调、可导，且 $\psi'(t)\ne 0$。则

$$
\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(\psi(t))\psi'(t)\,\mathrm{d}t.
$$

右端求出关于 $t$ 的原函数 $G(t)+C$ 后，必须用反函数代回：由 $x=\psi(t)$ 解出 $t=\psi^{-1}(x)$，得到

$$
\int f(x)\,\mathrm{d}x=G(\psi^{-1}(x))+C.
$$

单调性保证反函数存在，$\psi'(t)\ne 0$ 使反函数在对应点可导。答案不能留在 $t$ 上。

[来源：换元积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-substitution/#principle)

两类的依据都是链式法则，区别只在换元方向；“重点与易错点”里第二类换元的漏乘与回代，都针对这个分工。

## 第二类换元与三角代换

第二类换元法主动设置 $x=\psi(t)$，把难积的 $x$ 表达式换成较简单的 $t$ 表达式。它主要用于消除根式，或把三角函数有理式化为有理函数。求出关于 $t$ 的原函数后，必须回代成 $x$。

1. **选择代换**

   根据根式或三角函数的形式确定 $x=\psi(t)$，并取使根式化简后符号确定的 $t$ 范围。

2. **换掉微分**

   由 $x=\psi(t)$ 求出 $\mathrm{d}x=\psi'(t)\,\mathrm{d}t$，把被积函数中的 $x$ 和 $\mathrm{d}x$ 同时换掉。

3. **对 $t$ 积分**

   用基本积分表或其它方法求出关于 $t$ 的原函数。

4. **回代并检验**

   用 $t=\psi^{-1}(x)$ 把结果换回 $x$，加上常数 $C$；必要时对结果求导检验。

[来源：换元积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-substitution/#second-type)

三角代换的难点是 $t$ 的范围决定开根号后的符号；“课程约定”补充选范围的理由。

## 学习安排

教材先讲第一类换元法（凑微分），再讲第二类换元法（代换）。第一类是复合函数求导的逆用，重点在把 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ 认成 $\mathrm{d}\varphi(x)$；第二类主动设置 $x=\psi(t)$，重点在选对代换并在最后回代。

例题顺序是：先用 $\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}x$ 练线性替换，再用 $\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,\mathrm{d}x$ 练三角代换。复习时先默写常见凑微分表，再独立完成三角代换；根式代换和万能代换放在后面，作为消除根式和有理化三角函数的备用手段。

## 课程约定

* 换元时 $\mathrm{d}x$ 必须一起换，不能只替换被积函数中的 $x$。
* 第二类换元求出关于 $t$ 的原函数后，必须用反函数代回 $x$；答案不能留在 $t$ 上。
* 三角代换的 $t$ 范围要使开根号后的符号确定；范围不同，绝对值处理也不同。

## 重点与易错点

* 凑微分只差常数因子时，在积分号外补上倒数；在 $\mathrm{d}$ 内加减常数不影响结果。
* 第二类换元容易漏乘 $\psi'(t)$，也容易忘记回代。
* 三角代换开根号得到的是绝对值，必须按 $t$ 的范围判断符号。例如 $\sqrt{4-x^{2}}=2\lvert\cos t\rvert$，取 $t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 后才能写成 $2\cos t$。
* 根式代换令 $u=\sqrt[n]{ax+b}$ 后，$\mathrm{d}x=\frac{n}{a}u^{n-1}\,\mathrm{d}u$，不要漏掉 $\frac{1}{a}$。
* 万能代换计算量较大，只有当被积函数是 $\sin x$、$\cos x$ 的有理式且其它方法不便使用时才选。

## 复习提醒

复习时独立写出两类换元的公式和适用条件，再核对第二类换元的回代与三角代换的范围。