# 4.3分部积分法

## 阅读入口

* [分部积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-parts/)

## 分部积分公式

设 $u=u(x)$ 与 $v=v(x)$ 都在区间 $I$ 上可导。由乘积的求导法则

$$
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),
$$

移项并在两边求不定积分，得到**分部积分公式**

$$
\int u(x)\,\mathrm{d}v(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\,\mathrm{d}u(x),
$$

写成展开形式为

$$
\int u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x
=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x.
$$

公式把积分 $\int u\,\mathrm{d}v$ 换成了积分 $\int v\,\mathrm{d}u$，所以它并不直接算出结果，而是把问题转成另一个积分。只有当新的积分更容易求时，这个替换才有意义——这正是选择 $u$ 与 $\mathrm{d}v$ 时要争取的效果。

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### 使用条件

公式要求 $u$、$v$ 可导，且右端的 $\int v\,\mathrm{d}u$ 存在。求 $v$ 时任取 $\mathrm{d}v$ 的一个原函数即可：不同的原函数只差一个常数，这个常数只会改变最终结果中的常数项，不影响积分能否求出。

[来源：分部积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-parts/#formula)

公式由乘积求导法则移项得到；“课程约定”里的口诀只回答分组问题，公式本身仍要能自己写出来。

## 选择 $u$ 与 $\mathrm{d}v$

分组是否恰当决定分部积分能否奏效。理想的选择要同时满足两点：

1. **$u$ 求导后更简单。** 幂函数求导降次，对数函数与反三角函数求导后化为有理函数，求导能使复杂因子消失。
2. **$\mathrm{d}v$ 容易积分。** 要能立刻写出 $v=\int \mathrm{d}v$，例如指数函数、正弦、余弦。

这两条常常互相冲突：对数函数求导变简单却不容易积分，指数函数恰好相反。口诀就是用来打破僵局的。

### 口诀“反对幂三指”

在一个乘积中，按下列顺序从高到低排列，排在最前的函数取作 $u$，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 一起作为 $\mathrm{d}v$。

| 顺序 | 类型    | 典型函数                    | 处理                 |
| :- | :---- | :---------------------- | :----------------- |
| 反  | 反三角函数 | $\arctan x$，$\arcsin x$ | 取作 $u$             |
| 对  | 对数函数  | $\ln x$                 | 取作 $u$             |
| 幂  | 幂函数   | $x^n$，$\dfrac{1}{x^n}$  | 通常取作 $u$           |
| 三  | 三角函数  | $\sin x$，$\cos x$       | 通常取作 $\mathrm{d}v$ |
| 指  | 指数函数  | $e^{ax}$，$a^x$          | 取作 $\mathrm{d}v$   |

例如 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 中，“对”优先于“幂”，所以取 $u=\ln x$、$\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$；$\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$ 中，“幂”优先于“指”，所以取 $u=x^2$、$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$。

> [!TIP]
> 单独出现的 $\ln x$ 或 $\arctan x$ 也可以分部积分：把它看成 $\ln x\cdot 1$ 或 $\arctan x\cdot 1$，取 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，于是 $v=x$。

### 三类常见形态

* **对数或反三角乘幂函数**：一次分部就把 $u$ 化成有理函数，剩下的积分用凑微分处理。
* **幂函数乘指数或三角函数**：每分部一次幂函数的次数降低一次，$x^n$ 需要连续做 $n$ 次，直到幂函数变成常数。
* **指数函数乘三角函数**：降次行不通，两次分部后右端重新出现原积分，于是把原积分当作未知量，解一次方程。

> [!WARNING]
> 循环型两次分部必须坚持同一类函数作 $u$。第一次取三角函数，第二次仍取三角函数；两次都取指数函数也可以。中途换类会把原积分原样搬回来，得不到关于 $I$ 的方程。

### 定积分的分部积分

设 $u(x)$、$v(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续导数，则

$$
\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b v(x)u'(x)\,\mathrm{d}x,
$$

简写为

$$
\int_a^b u\,\mathrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm{d}u.
$$

1. **选取 $u$ 与 $\mathrm{d}v$**

   把被积表达式看成两类函数的乘积。优先选择求导后会简化的因子作 $u$，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 作为 $\mathrm{d}v$；口诀只能作为选取的提示。

2. **求 $v$ 与 $\mathrm{d}u$**

   对 $\mathrm{d}v$ 积分得 $v$，对 $u$ 求导得 $\mathrm{d}u$。$v$ 只取一个原函数，不加任意常数。

3. **代入公式**

   先算边界项 $[uv]_a^b$，再处理 $\int_a^b v\,\mathrm{d}u$。边界项必须在这一步就代入上下限，不能留到最后。

> [!WARNING]
> 反常积分应先在有限区间分部积分，再分别检查边界项与余下积分的极限。

[来源：分部积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-parts/#choice)

口诀在“课程约定”里只写成一句顺序；真正决定成败的是“重点与易错点”里的三类形态，循环型要单独练。

## 学习安排

第四章先列基本积分公式，再讲换元，4.3才引入分部积分。教材的编排是：先从乘积求导法则推出公式，再讨论怎样选择 $u$ 与 $\mathrm{d}v$，最后按被积函数的类型分三类举例——对数或反三角乘幂函数、幂函数乘指数或三角函数、指数函数乘三角函数。

阅读时先自己推一遍公式，再对照口诀做例题。前两类靠“求导后变简单”和“降次”收敛；第三类不能降次，要解方程，方法上要单独记。

4.4处理有理函数，遇到二次因式的高次幂时，仍会用分部积分导出递推公式。

## 课程约定

* 选 $u$ 用口诀“反对幂三指”：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数，排在前面的取作 $u$，剩下的整体作为 $\mathrm{d}v$。
* 单独出现的 $\ln x$、$\arctan x$ 按乘 $1$ 处理，取 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$。
* 循环型做两次分部时，两次都取三角函数作 $u$（原笔记的做法）；两次都取指数函数也可以，但不能中途换类。

## 易错点

* 分部之后得到的新积分必须比原积分简单；如果反而更复杂，说明分组选反了，应交换 $u$ 与 $\mathrm{d}v$ 重来。
* 幂函数乘指数或三角函数时，$x^n$ 要分部 $n$ 次，做到幂函数变成常数为止；中途停下会留下未完成的积分。
* 循环型两次分部换类，会把原积分原样搬回等式右边，得不到关于 $I$ 的方程。
* 定积分做分部时，$uv$ 这一项要带上下限，写成 $[uv]_a^b$ 之后再减去后面的积分；漏掉上下限是最常见的丢分点。
* 不定积分最后补 $+C$，循环型解出 $I$ 之后同样要补。

## 复习要点

复习时把三类各做一道就够：$\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 练口诀与一次分部，$\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$ 练连续降次，$\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x$ 练解方程。判断要不要用分部，先看被积函数是不是两类不同函数相乘、又凑不出微分。