# 4.4有理函数的积分

## 阅读入口

* [有理函数的积分](/knowledge/maths/integrals/rational-function-integration/)
* [分部积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-parts/)

## 有理函数与真、假分式

由两个多项式之比给出的函数

$$
R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}
$$

称为**有理函数**，其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是实系数多项式，$Q(x)$ 不恒为零。$R$ 的定义域是使 $Q(x)\ne 0$ 的一切 $x$。

按分子与分母的次数分为两类：

* **真分式**：$\deg P<\deg Q$，分子的次数严格小于分母的次数；
* **假分式**：$\deg P\ge\deg Q$，分子的次数大于或等于分母的次数。

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有理函数在定义区间内连续，它的原函数总能由三类函数拼成：多项式、对数函数与反正切函数。求有理函数积分的全部工作，就是把 $R$ 化成这三类函数的组合，再逐项积分。

[来源：有理函数的积分](/knowledge/maths/integrals/rational-function-integration/#definition)

本节按“定义—三步法—逐类积分”的顺序展开；先完成分类，再选择对应的拆分形式。

## 三步法

求解有理函数积分有固定的流程，三步按顺序做，不要跳步。

1. **假分式先降次**

   当 $\deg P\ge\deg Q$ 时，用多项式长除法把 $R$ 拆成商式与真分式之和：

   $$
   \frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R_0(x)}{Q(x)},\qquad \deg R_0<\deg Q.
   $$

   其中 $S(x)$ 是多项式，直接逐项积分；后面只需处理真分式 $\dfrac{R_0(x)}{Q(x)}$。

2. **分母在实数范围内彻底分解**

   把 $Q(x)$ 写成一次因式 $(x-a)^k$ 与不可约二次因式 $(x^2+px+q)^m$ 的乘积。不可约指数判别式 $p^2-4q<0$，这样的二次因式在实数范围内不能再分解。

3. **拆成最简部分分式**

   按分母因式的形状写出带待定系数的和，再用待定系数法确定系数。

> [!WARNING]
> 假分式不先降次就套用拆分规则，会漏掉商式 $S(x)$ 对应的整个多项式项，结果必然错误。

### 拆分形式

分母中的每个因式都要按它的幂次展开成若干项：

| 分母中的因式         | 对应的部分分式                                                             |
| :------------- | :------------------------------------------------------------------ |
| $(x-a)^k$      | $\dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-a)^k}$ |
| $(x^2+px+q)^m$ | $\dfrac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\cdots+\dfrac{B_mx+C_m}{(x^2+px+q)^m}$  |

重因式必须从一次幂一直写到 $k$ 次幂，一项都不能少。二次因式的分子要写成一次式 $Bx+C$，不能只写常数。

### 待定系数法

把拆分式通分、去掉分母，得到一个关于 $x$ 的恒等式，再确定其中的系数。常用三种做法：

1. **比较系数法**：按 $x$ 的同次幂系数相等列出方程组。
2. **取值法**：代入分母的实根，使含其他因式的项为零，直接解出对应系数。
3. **混合法**：先用取值法求出容易确定的系数，再用比较系数法解剩下的。

> [!TIP]
> 分母有重根时，取值法一次只能定出最高次幂那一项的系数，例如 $(x-a)^3$ 只能直接得到 $A_3$；其余系数仍要用比较系数法或代入其他便于计算的值。

### 最简部分分式的积分

拆分完成后，每一项都是下面几种形式之一。

#### 多项式项

$\int S(x)\,\mathrm{d}x$ 逐项使用幂函数积分公式。

#### 一次因式项

$k=1$ 时，

$$
\int\frac{A}{x-a}\,\mathrm{d}x=A\ln|x-a|+C.
$$

$k>1$ 时用凑微分，

$$
\int\frac{A}{(x-a)^k}\,\mathrm{d}x
=A\int (x-a)^{-k}\,\mathrm{d}(x-a)
=\frac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}+C.
$$

### 二次因式项

对 $\dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}$，先配方：令 $b=\dfrac{p}{2}$，$c^2=q-b^2>0$，$u=x+b$，则分母为 $u^2+c^2$。再把分子拆成与分母导数成比例的部分和常数部分：

$$
Ax+B=\frac{A}{2}\cdot 2u+(B-Ab),
$$

于是

$$
\int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x
=\frac{A}{2}\ln(u^2+c^2)+\frac{B-Ab}{c}\arctan\frac{u}{c}+C.
$$

第一项来自 $\dfrac{2u\,\mathrm{d}u}{u^2+c^2}=\mathrm{d}\ln(u^2+c^2)$，第二项来自 $\int\dfrac{\mathrm{d}u}{u^2+c^2}=\dfrac{1}{c}\arctan\dfrac{u}{c}$。

### 二次因式的高次幂

$m\ge 2$ 时仍按同样的方式拆分子：

* 微分项化为 $\int\dfrac{\mathrm{d}w}{w^m}$（$w=u^2+c^2$），用幂函数公式即可；
* 常数项化为 $\int\dfrac{\mathrm{d}u}{(u^2+c^2)^m}$，用三角代换 $u=c\tan t$ 或递推公式求解。

[来源：有理函数的积分](/knowledge/maths/integrals/rational-function-integration/#strategy)

本节要求把“降次—分解—拆分”写完整再动笔积分；“复习要点”补充检验办法与练习重点。

## 学习安排

4.4是第四章积分方法的最后一节。教材先定义有理函数、区分真分式与假分式，再给出三步法：假分式降次、分母分解、拆成最简部分分式；接着按分母因式的幂次给出拆分形式，用一个一次因式乘一个二次因式的例子演示待定系数法；最后逐类给出最简部分分式的积分，其中二次因式的高次幂要借助三角代换或递推公式。

复习时按“降次—分解—拆分—逐项积分”的顺序完整走一遍，比零散记公式可靠。

## 课程约定

* 部分分式的分母沿用原分母中的因式：$(x-a)$ 写作 $\dfrac{A}{x-a}$，带系数的 $(2x+1)$ 直接写作 $\dfrac{A}{2x+1}$，不把系数提到分子或外面。
* 不可约二次因式指判别式小于零的 $x^2+px+q$，其部分分式的分子必须是一次式 $Bx+C$。
* 待定系数按固定顺序求：先用取值法代入分母的实根，剩下的系数再比较同次幂。
* 二次因式项先配方成 $(x+b)^2+c^2$，再令 $u=x+b$，把分子拆成对数项与反正切项。

## 易错点

* 假分式不降次直接拆分，会漏掉商式对应的多项式积分。
* 重因式 $(x-a)^k$ 要写满 $k$ 项，只写最高次项或只写一次项都不完整。
* 二次因式的分子只写常数 $C$、漏掉 $Bx$，系数会解不出来或解错。
* 对数项要加绝对值：定义域可能落在 $x<a$ 的一侧，写成 $\ln(x-a)$ 会丢掉一半区间。
* 配方后反正切的系数是 $\dfrac{1}{c}$，其中 $c^2=q-\dfrac{p^2}{4}$，不要漏掉这个因子。
* $m\ge 2$ 的常数项不能直接套反正切公式，要用三角代换或递推公式。

## 复习要点

检验拆分是否正确，直接通分回去看是否还原，比反复核对系数快。最简分式的积分里，多项式项与一次因式项都是套公式，真正要练的是二次因式项的配方与拆分子。