# 5.1定积分的概念与性质

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* [定积分的概念与性质](/knowledge/maths/integrals/definite-integral/)

## 定积分的定义

设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。在 $[a,b]$ 内插入分点

$$
a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,
$$

把区间分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$，记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。在每个小区间上任取一点 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作**积分和**

$$
S=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.
$$

再记 $\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}$。若当 $\lambda\to 0$ 时 $S$ 的极限存在，并且这个极限与区间的分法、点 $\xi_i$ 的取法都无关，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上**可积**，并把该极限称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的**定积分**：

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.
$$

其中 $a$ 是积分下限，$b$ 是积分上限，$f(x)$ 是被积函数，$x$ 是积分变量。

定义的过程可以概括为四步：分割、近似（用 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 代替第 $i$ 个小曲边梯形的面积）、求和、取极限。定积分是一个数，只由被积函数和积分区间决定，与积分变量用什么字母无关：

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u.
$$

定义默认 $a<b$。为了书写方便，再规定 $\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0$ 以及

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\,\mathrm{d}x.
$$

也就是说，交换上下限时积分值变号。下面涉及不等式的性质都以 $a<b$ 为前提。

### 几何意义

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，则 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ 等于由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$、$x=b$ 以及 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积。

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上变号，定积分等于 $x$ 轴上方的面积减去下方的面积，即各部分面积的代数和；此时它不再等于几何面积。

[来源：定积分的概念与性质](/knowledge/maths/integrals/definite-integral/#definition)

先复述定义的四个步骤，再进入变量字母与上下限的约定。

## 定积分的性质

以下性质都假设涉及的定积分存在。

### 线性性质

设 $\alpha$、$\beta$ 为常数，则

$$
\int_a^b\bigl[\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x
=\alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x+\beta\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.
$$

### 区间可加性

设 $a<c<b$，则

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
=\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x.
$$

这条性质把积分区间拆成两段，是分段函数积分和变上限函数讨论的基础。

### 常数函数的积分

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\equiv 1$，则

$$
\int_a^b 1\,\mathrm{d}x=\int_a^b \mathrm{d}x=b-a.
$$

### 保号性与比较

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，且 $a<b$，则

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\ge 0.
$$

由此得到两条推论。

* **推论1（比较）**：若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$，且 $a<b$，则
  $$
  \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.
  $$
* **推论2（绝对值不等式）**：若 $a<b$，则
  $$
  \left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right|\le\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x.
  $$

### 估值定理

设 $M$ 与 $m$ 分别为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最大值与最小值，且 $a<b$，则

$$
m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le M(b-a).
$$

### 积分中值定理

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $a<b$，则存在 $\xi\in[a,b]$，使

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a).
$$

这个等式称为**积分中值公式**。量

$$
\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
$$

称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的**平均值**；中值定理说明连续函数一定能取到自己的平均值。

[来源：定积分的概念与性质](/knowledge/maths/integrals/definite-integral/#properties)

性质的证明都回到定义；学习时说明具体性质在5.2的推导里承担哪一步。

## 学习安排

* 教材先按“分割、近似、求和、取极限”给出定义，再给可积的两条充分条件，最后列性质。性质的排列与使用频率一致：线性与区间可加用来拆分区间和被积函数，保号、比较与估值用来估计积分，中值定理把积分换成某个函数值。
* 本节的积分性质只用极限与不等式；用原函数算积分要等到5.2的[牛顿–莱布尼茨公式](/knowledge/maths/integrals/newton-leibniz/)。
* 估值定理与积分中值定理是5.2证明积分上限函数可导的工具。读5.2卡住时，先回来看这两条的条件与结论。

## 课程约定

* 本节性质都以 $a<b$ 为前提。题目给出的上下限顺序相反时，先按 $\int_a^b=-\int_b^a$ 交换上下限，再套用性质。
* 积分中值定理的 $\xi$ 在笔记里有两种写法：结论写 $\xi\in(a,b)$，公式行又写 $a\le\xi\le b$。按估值定理加介值定理证明得到的是闭区间；若题目要求开区间，就对变上限函数用拉格朗日中值定理。写闭区间总是成立的。
* 定积分的值与积分变量字母无关：$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$、$\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$、$\int_a^b f(u)\,\mathrm{d}u$ 是同一个数。计算时经常需要把变量换成 $t$，以便与上限 $x$ 区分。

## 易错点

* 定积分是一个数，不是函数。在5.1阶段，“算出积分值”和“求原函数”是两件事，不要混写。
* 保号、比较、估值都要求 $a<b$。上限小于下限时积分变号，不等号方向跟着反转。
* 可积的两条充分条件是连续、有界且只有有限个间断点。“有限个间断点”不能丢，有界本身不保证可积。
* 中值定理要求 $f$ 连续。仅可积而不连续时，$f(\xi)$ 未必能取到平均值。