# 5.2微积分基本公式

## 阅读入口

* [积分上限函数的导数](/knowledge/maths/integrals/fundamental-theorem-of-calculus/)
* [牛顿–莱布尼茨公式](/knowledge/maths/integrals/newton-leibniz/)
* [定积分的概念与性质](/knowledge/maths/integrals/definite-integral/)：本节证明要用到5.1的区间可加性与积分中值定理。

## 微积分基本定理

**定理（原函数存在定理）** 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则积分上限函数 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 在 $[a,b]$ 上可导（端点处指相应的单侧导数），且

$$
\Phi'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t=f(x).
$$

因此，连续函数 $f$ 的积分上限函数 $\Phi$ 就是 $f$ 的一个原函数。这条结论同时说明：在闭区间上连续的函数一定有原函数。

**证明**

设 $x\in(a,b)$，$\Delta x\ne 0$ 且 $x+\Delta x\in[a,b]$。由积分对区间的可加性，

$$
\Delta\Phi=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)
=\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t.
$$

以 $\Delta x>0$ 为例（$\Delta x<0$ 时先交换上下限，结论相同）。在区间 $[x,x+\Delta x]$ 上对 $f$ 用积分中值定理（见 [定积分的概念与性质](/knowledge/maths/integrals/definite-integral/)），存在 $\xi\in[x,x+\Delta x]$，使

$$
\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t=f(\xi)\Delta x.
$$

于是 $\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta x}=f(\xi)$。当 $\Delta x\to 0$ 时 $\xi\to x$，由 $f$ 在 $x$ 处连续得 $f(\xi)\to f(x)$，故 $\Phi'(x)=f(x)$。端点 $x=a$、$x=b$ 处用同样的推理讨论单侧导数，结论相同。

### 上下限都是函数时的导数

设 $f$ 连续，$\phi$、$\psi$ 可导，且 $\phi(x)$、$\psi(x)$ 都落在 $f$ 的连续区间内，记

$$
F(x)=\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t,
$$

则

$$
F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t
=f[\psi(x)]\psi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x).
$$

这条公式称为**莱布尼茨公式**。它的来源是把积分拆成两个积分上限函数之差：

$$
\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t
=\int_a^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t-\int_a^{\phi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t,
$$

再对两项分别用微积分基本定理，并对外层用[复合函数的链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)求导。

[来源：积分上限函数的导数](/knowledge/maths/integrals/fundamental-theorem-of-calculus/#properties)

这一段是5.2的枢纽；“易错点”里关于变限求导的两条，都要回到这里的公式再套一次。

## 牛顿-莱布尼茨公式

**定理** 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).
$$

这个公式称为**牛顿-莱布尼茨公式**，也称为**微积分基本公式**。

**证明**

令 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$。由微积分基本定理，$\Phi'(x)=f(x)$，所以 $\Phi$ 也是 $f$ 的原函数。于是

$$
\bigl(F(x)-\Phi(x)\bigr)'=f(x)-f(x)=0.
$$

由拉格朗日中值定理的推论，导数恒为零的函数为常数，设 $F(x)-\Phi(x)=C$。令 $x=a$，注意 $\Phi(a)=0$，得 $C=F(a)$。因此

$$
\Phi(x)=F(x)-F(a).
$$

取 $x=b$，即得 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$。

### 记号

通常把 $F(b)-F(a)$ 记作 $\bigl[F(x)\bigr]_a^b$ 或 $F(x)\big|_a^b$，于是

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a).
$$

方括号与竖线含义相同：先代入上限，再减去代入下限的结果。

### 意义

牛顿-莱布尼茨公式把定积分与不定积分联系起来。定积分本来是由积分和的极限定义的，直接用定义计算需要分割、求和再取极限；公式说明它只取决于原函数在两个端点处的值之差。于是求定积分归结为求原函数，而求原函数的方法（[基本积分公式](/knowledge/maths/integrals/integral-formulas/)、[换元积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-substitution/)、[分部积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-parts/)等）可以直接借用。

### 计算步骤

1. **求一个原函数**

   求出 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$。这里只需一个原函数，不必写常数 $C$。

2. **代入上下限**

   计算 $F(b)-F(a)$，即上限处的值减去下限处的值。

[来源：牛顿–莱布尼茨公式](/knowledge/maths/integrals/newton-leibniz/#definition)

公式本身只用到端点值，所以“课程约定”里强调 $F$ 不必带常数；真正要练的是代上下限的顺序。

## 学习安排

教材的顺序是：先定义积分上限函数 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$，再证明 $\Phi'(x)=f(x)$，由此得到“连续函数存在原函数”；然后把积分上下限推广为函数，得到变限积分的求导公式；最后引出牛顿-莱布尼茨公式，把定积分的计算转化为求原函数。

* 本节只解决“已知原函数怎么算定积分”。原函数怎么找，是第4章的内容：[基本积分公式](/knowledge/maths/integrals/integral-formulas/)、[换元积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-substitution/)、[分部积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-parts/)与[有理函数的积分](/knowledge/maths/integrals/rational-function-integration/)。5.3再把换元与分部直接用到定积分上，届时会多出“换元必换限”的步骤。
* 阅读顺序建议：先只记 $\Phi'(x)=f(x)$ 这一条，用它推变限求导；再用 $\Phi$ 与任意原函数相差常数推出牛顿-莱布尼茨公式。两步都自己推一遍，比背公式可靠。

## 课程约定

* $[F(x)]_a^b$ 和 $F(x)\big|_a^b$ 两种写法表示 $F(b)-F(a)$，两者等价。写解答时先写出原函数，再依次代入上下限。
* 被积函数用 $t$、上限用 $x$：$\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 中的 $t$ 是哑变量，求导时自变量是上限 $x$。
* 定积分的结果是数，不定积分的结果是函数族（含 $+C$）。牛顿-莱布尼茨公式中的 $F$ 只取一个原函数，常数在 $F(b)-F(a)$ 中自动消去，不需要再写 $+C$。
* 上下限都是函数时按“上限项减下限项”写；拿不准就拆成两个积分上限函数分别求导，再相减。

## 易错点

* 公式的前提是 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。被积函数在区间内有瑕点时不能直接代原函数：例如 $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x$ 按公式会算出 $-2$，但这个积分其实发散，要按5.4的反常积分处理。
* 变限求导漏乘链式因子：上限是 $\psi(x)$ 时，要乘 $\psi'(x)$；只把 $t$ 换成 $\psi(x)$ 是最常见的错误。
* 上下限都是函数时两项符号相反：上限项取 $+$，下限项取 $-$。少写一项或把下限项写成加号都错；不要直接对 $\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}$ 套 $\Phi'(x)=f(x)$。
* 交换上下限要变号：$\int_b^a f=-\int_a^b f$。代值前先确认哪个是上限。