# 5.3定积分的计算

## 阅读入口

* [定积分的对称与周期性](/knowledge/maths/integrals/definite-integral-computation/)
* [华里斯公式](/knowledge/maths/integrals/wallis-formula/)

## 定积分换元

### 第一类换元法

第一类换元法是复合函数求导法则的逆应用，适用于被积函数已经呈现为 $f(\varphi(x))\varphi'(x)$ 的形式，或只差一个常数因子的情形。操作时把 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ 凑成 $\mathrm{d}\varphi(x)$，再整体换成 $u$。

1. **找出内层函数**

   观察被积函数能否写成 $f(\varphi(x))\varphi'(x)$，确定 $\varphi(x)$。

2. **凑出微分**

   把 $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ 写成 $\mathrm{d}\varphi(x)$。如果只差常数因子，在积分号外补上相应的倒数。

3. **对 $u$ 积分**

   令 $u=\varphi(x)$，用基本积分表求 $\int f(u)\,\mathrm{d}u$。

4. **代回并加常数**

   把 $u$ 换回 $\varphi(x)$，并加上积分常数 $C$。

### 常见凑微分

| 被积表达式中的因子                                | 凑成的微分                             |
| :--------------------------------------- | :-------------------------------- |
| $\mathrm{d}x$                            | $\mathrm{d}x$                     |
| $k\,\mathrm{d}x$                         | $\mathrm{d}(kx)$                  |
| $x\,\mathrm{d}x$                         | $\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}(x^{2})$ |
| $\sin x\,\mathrm{d}x$                    | $-\mathrm{d}(\cos x)$             |
| $\cos x\,\mathrm{d}x$                    | $\mathrm{d}(\sin x)$              |
| $\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$              | $\mathrm{d}(\ln\lvert x\rvert)$   |
| $e^{x}\,\mathrm{d}x$                     | $\mathrm{d}(e^{x})$               |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,\mathrm{d}x$ | $\mathrm{d}(\arcsin x)$           |
| $\dfrac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}x$        | $\mathrm{d}(\arctan x)$           |

> [!TIP]
> 把因子放进 $\mathrm{d}$ 内，相当于对它求原函数；把因子从 $\mathrm{d}$ 内取出，相当于对它求导。$\mathrm{d}$ 内加减常数不影响微分；乘以常数时，要在积分号外补上它的倒数。

### 第二类换元法

第二类换元法主动设置 $x=\psi(t)$，把难积的 $x$ 表达式换成较简单的 $t$ 表达式。它主要用于消除根式，或把三角函数有理式化为有理函数。求出关于 $t$ 的原函数后，必须回代成 $x$。

1. **选择代换**

   根据根式或三角函数的形式确定 $x=\psi(t)$，并取使根式化简后符号确定的 $t$ 范围。

2. **换掉微分**

   由 $x=\psi(t)$ 求出 $\mathrm{d}x=\psi'(t)\,\mathrm{d}t$，把被积函数中的 $x$ 和 $\mathrm{d}x$ 同时换掉。

3. **对 $t$ 积分**

   用基本积分表或其它方法求出关于 $t$ 的原函数。

4. **回代并检验**

   用 $t=\psi^{-1}(x)$ 把结果换回 $x$，加上常数 $C$；必要时对结果求导检验。

### 三角代换

三角代换用于消除二次根式。下表默认 $a>0$，$t$ 的范围取得使根式化简后不需要再加绝对值。

| 根式类型                 | 换元公式        | $t$ 的范围                                                             | 化简结果                         |
| :------------------- | :---------- | :------------------------------------------------------------------ | :--------------------------- |
| $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ | $x=a\sin t$ | $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$                       | $\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos t$ |
| $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ | $x=a\tan t$ | $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$                       | $\sqrt{a^{2}+x^{2}}=a\sec t$ |
| $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ | $x=a\sec t$ | $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$ | $\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan t$ |

> [!WARNING]
> 开根号得到的是绝对值。例如 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}\cos^{2}t}=a\lvert\cos t\rvert$，只有在 $t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时才能去掉绝对值写成 $a\cos t$。代换前先确定 $t$ 的范围，再化简根式。

### 根式代换

被积函数含有 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时，令 $u=\sqrt[n]{ax+b}$，则 $u^{n}=ax+b$，从而

$$
x=\frac{u^{n}-b}{a},\qquad
\mathrm{d}x=\frac{n}{a}u^{n-1}\,\mathrm{d}u.
$$

于是

$$
\int f\left(\sqrt[n]{ax+b}\right)\mathrm{d}x
=\int f(u)\cdot\frac{n}{a}u^{n-1}\,\mathrm{d}u.
$$

这里 $n$ 为正整数，$a\ne 0$，且根式要在实数的范围内有定义。

### 万能代换

被积函数是 $\sin x$、$\cos x$ 的有理式时，可令 $t=\tan\dfrac{x}{2}$。在 $x\ne(2k+1)\pi$ 的区间上，

$$
\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad
\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad
\mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t.
$$

这样 $\int R(\sin x,\cos x)\,\mathrm{d}x$ 就化为关于 $t$ 的有理函数的积分。万能代换的计算量通常较大，只在其它方法不便使用时才选。

### 定积分换元

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，变换 $x=\varphi(t)$ 满足

1. $\varphi(\alpha)=a$，$\varphi(\beta)=b$；
2. $\varphi$ 在 $[\alpha,\beta]$（或 $[\beta,\alpha]$）上具有连续导数，且值域包含在 $[a,b]$ 内，

则

$$
\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,\mathrm{d}t.
$$

条件不要求 $\alpha<\beta$：当 $\alpha>\beta$ 时，右端按从 $\alpha$ 到 $\beta$ 的方向积分，交换上下限会使符号改变。

> [!IMPORTANT]
> **换元必换限**
>
> 引入新变量 $t$ 后，上下限必须同时换成 $t$ 的范围 $\alpha,\beta$。这是定积分换元与不定积分换元最大的区别。

> [!TIP]
> **无需回代**
>
> 算出关于 $t$ 的积分后，直接代入 $t$ 的上下限即可，不必像不定积分那样把结果回代成 $x$ 的函数。

> [!WARNING]
> 反常积分换元时，要先写出截断积分，处理新上下限的极限，并核对变换条件与积分方向。

不定积分中常用的凑微分与三角代换也可用于定积分，但换元时要同时换限。

[来源：换元积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-substitution/#properties)

定积分换元要遵循“换元必换限”与“换元不回代”，并检查变换条件和积分方向。

## 定积分的分部积分

分组是否恰当决定分部积分能否奏效。理想的选择要同时满足两点：

1. **$u$ 求导后更简单。** 幂函数求导降次，对数函数与反三角函数求导后化为有理函数，求导能使复杂因子消失。
2. **$\mathrm{d}v$ 容易积分。** 要能立刻写出 $v=\int \mathrm{d}v$，例如指数函数、正弦、余弦。

这两条常常互相冲突：对数函数求导变简单却不容易积分，指数函数恰好相反。口诀就是用来打破僵局的。

### 口诀“反对幂三指”

在一个乘积中，按下列顺序从高到低排列，排在最前的函数取作 $u$，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 一起作为 $\mathrm{d}v$。

| 顺序 | 类型    | 典型函数                    | 处理                 |
| :- | :---- | :---------------------- | :----------------- |
| 反  | 反三角函数 | $\arctan x$，$\arcsin x$ | 取作 $u$             |
| 对  | 对数函数  | $\ln x$                 | 取作 $u$             |
| 幂  | 幂函数   | $x^n$，$\dfrac{1}{x^n}$  | 通常取作 $u$           |
| 三  | 三角函数  | $\sin x$，$\cos x$       | 通常取作 $\mathrm{d}v$ |
| 指  | 指数函数  | $e^{ax}$，$a^x$          | 取作 $\mathrm{d}v$   |

例如 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 中，“对”优先于“幂”，所以取 $u=\ln x$、$\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$；$\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$ 中，“幂”优先于“指”，所以取 $u=x^2$、$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$。

> [!TIP]
> 单独出现的 $\ln x$ 或 $\arctan x$ 也可以分部积分：把它看成 $\ln x\cdot 1$ 或 $\arctan x\cdot 1$，取 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$，于是 $v=x$。

### 三类常见形态

* **对数或反三角乘幂函数**：一次分部就把 $u$ 化成有理函数，剩下的积分用凑微分处理。
* **幂函数乘指数或三角函数**：每分部一次幂函数的次数降低一次，$x^n$ 需要连续做 $n$ 次，直到幂函数变成常数。
* **指数函数乘三角函数**：降次行不通，两次分部后右端重新出现原积分，于是把原积分当作未知量，解一次方程。

> [!WARNING]
> 循环型两次分部必须坚持同一类函数作 $u$。第一次取三角函数，第二次仍取三角函数；两次都取指数函数也可以。中途换类会把原积分原样搬回来，得不到关于 $I$ 的方程。

### 定积分的分部积分

设 $u(x)$、$v(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续导数，则

$$
\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b v(x)u'(x)\,\mathrm{d}x,
$$

简写为

$$
\int_a^b u\,\mathrm{d}v=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm{d}u.
$$

1. **选取 $u$ 与 $\mathrm{d}v$**

   把被积表达式看成两类函数的乘积。优先选择求导后会简化的因子作 $u$，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 作为 $\mathrm{d}v$；口诀只能作为选取的提示。

2. **求 $v$ 与 $\mathrm{d}u$**

   对 $\mathrm{d}v$ 积分得 $v$，对 $u$ 求导得 $\mathrm{d}u$。$v$ 只取一个原函数，不加任意常数。

3. **代入公式**

   先算边界项 $[uv]_a^b$，再处理 $\int_a^b v\,\mathrm{d}u$。边界项必须在这一步就代入上下限，不能留到最后。

> [!WARNING]
> 反常积分应先在有限区间分部积分，再分别检查边界项与余下积分的极限。

[来源：分部积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-parts/#choice)

## 对称区间与周期性

### 奇偶性

设 $f$ 在 $[-a,a]$ 上连续，$a>0$。

* 若 $f$ 是奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$，则

  $$
  \int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=0.
  $$

* 若 $f$ 是偶函数，即 $f(-x)=f(x)$，则

  $$
  \int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x.
  $$

两条合起来常记作“偶倍奇零”。

**证明** “偶倍奇零”的来源

在 $[-a,0]$ 上令 $x=-t$，则

$$
\int_{-a}^0 f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^0 f(-t)(-\mathrm{d}t)=\int_0^a f(-t)\,\mathrm{d}t,
$$

于是

$$
\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^a\bigl[f(x)+f(-x)\bigr]\,\mathrm{d}x.
$$

$f$ 为奇函数时括号内为 $0$；为偶函数时括号内为 $2f(x)$，结论成立。

> [!WARNING]
> 反常积分上的“偶倍奇零”只在积分收敛时成立。$\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x$ 的被积函数是奇函数，但两个半区间上的积分都发散，原积分发散，不能写 $0$（除非另行定义柯西主值）。

### 周期性

设 $f$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则对任意实数 $a$，

$$
\int_a^{a+T}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^T f(x)\,\mathrm{d}x.
$$

也就是说，长度为一个周期的区间上的积分值与起点无关。把 $[a,a+T]$ 拆成 $[a,0]$、$[0,T]$、$[T,a+T]$ 三段，对最后一段作平移 $x=t+T$，它与第一段正好相消。

[来源：定积分的对称与周期性](/knowledge/maths/integrals/definite-integral-computation/#properties)

记

$$
I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,\mathrm{d}x,\qquad n=0,1,2,\dots
$$

两个积分相等，因为作代换 $x=\frac{\pi}{2}-t$ 后 $\sin^n x$ 与 $\cos^n t$ 互换。

对 $n\ge 2$，

$$
I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2},\qquad I_0=\frac{\pi}{2},\quad I_1=1.
$$

反复使用递推，得到

$$
I_n=
\begin{cases}
\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数},\\[6pt]
\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}\cdot 1, & n \text{ 为奇数}.
\end{cases}
$$

用双阶乘写就是 $I_{2m}=\dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\dfrac{\pi}{2}$，$I_{2m+1}=\dfrac{(2m)!!}{(2m+1)!!}$。

**证明** 递推公式的推导

对 $n\ge 2$，把 $\sin^n x$ 写成 $\sin^{n-1}x\cdot\sin x$，取 $u=\sin^{n-1}x$，$\mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x$，则 $v=-\cos x$。于是

$$
\begin{aligned}
I_n
&=\bigl[-\sin^{n-1}x\cos x\bigr]_0^{\frac{\pi}{2}}
 +(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^2x\,\mathrm{d}x\\
&=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,(1-\sin^2x)\,\mathrm{d}x\\
&=(n-1)(I_{n-2}-I_n).
\end{aligned}
$$

边界项在两端都为 $0$，移项得 $nI_n=(n-1)I_{n-2}$。

[来源：华里斯公式](/knowledge/maths/integrals/wallis-formula/#definition)

“偶倍奇零”只在积分收敛时成立；华里斯公式紧接在这一组之后，但对上下限另有要求，不要和奇偶性混用。

## 学习安排

本节的计算全部建立在5.2的牛顿-莱布尼茨公式上：先求原函数，再代入上下限。教材按“换元 → 分部 → 用函数性质化简”的顺序展开，前两条是把 [换元积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-substitution/)与[分部积分法](/knowledge/maths/integrals/integration-by-parts/)搬到定积分上，最后一条才是定积分特有的化简手段。

复习时先看被积函数的结构再选路线：能凑成 $f[\varphi(t)]\varphi'(t)$ 的用换元，是两类函数乘积的用分部，区间对称、函数有周期或幂次为 $\sin^n x$ 的先用性质化简。

## 课程约定

* 定积分换元要求端点对应与被积函数连续导数；换元后上下限随 $t$ 一起换成 $\alpha,\beta$，其中 $\alpha$ 与 $\beta$ 的顺序由变换确定。
* 定积分换元后不再回代：算出关于 $t$ 的原函数后直接代入 $\alpha,\beta$。这是与第4章不定积分换元的主要区别。
* 分部积分优先选求导后易化简的因子作 $u$，并在边界项 $[uv]_a^b$ 中代入上下限。
* $\Gamma$ 函数放在5.4的反常积分中讨论。

## 易错点

* 只换被积函数不换限，或换限后仍把结果回代成 $x$ 的函数。
* 换元时漏乘 $\varphi'(t)$，尤其是 $\mathrm{d}x=\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$ 中的导数。
* 华里斯公式只适用于 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x$ 与 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x$；上下限一变，就不能直接套用。
* 把“偶倍奇零”或分部积分直接用在反常积分上，却没有先检查积分收敛、边界项极限存在。