# 5.4反常积分

## 阅读入口

* [反常积分](/knowledge/maths/integrals/improper-integral/)
* [$\Gamma$ 函数](/knowledge/maths/integrals/gamma-function/)

## 反常积分的定义

### 无穷限的反常积分

设 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，取 $t>a$。若极限 $\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x$ 存在，则称它为 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上的反常积分，记作

$$
\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x,
$$

此时称积分**收敛**；若极限不存在，则称积分**发散**。

类似地：

* 在 $(-\infty,b]$ 上，$\displaystyle\int_{-\infty}^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to-\infty}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x$。
* 在 $(-\infty,+\infty)$ 上，任取 $c$，
  $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^cf(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$；右端两个积分都收敛时，原积分才收敛。

> [!IMPORTANT]
> $(-\infty,+\infty)$ 上的积分不能把两个极限合并成一个对称极限来算。$\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x$ 按定义发散，而 $\lim_{t\to+\infty}\int_{-t}^{t}x\,\mathrm{d}x=0$ 只是柯西主值，不属于这里定义的反常积分。

若 $f(x)\ge 0$，$\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛表示曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$ 与 $x$ 轴围成的无界区域面积有限。这是反常积分与定积分共享的几何意义。

### 无界函数的反常积分

设 $f$ 在 $(a,b]$ 上连续，在 $a$ 的右侧邻域内无界，称 $a$ 为 $f$ 的**瑕点**。取 $t\in(a,b)$，若极限 $\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x$ 存在，则称它为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的反常积分，也称**瑕积分**，记作

$$
\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x.
$$

类似地：

* 瑕点在上限 $b$：$\displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to b^-}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x$。
* 瑕点在内部 $c\in(a,b)$：$\displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\mathrm{d}x$，两个积分都收敛时原积分才收敛。

> [!WARNING]
> 一个积分可以同时有无穷限和瑕点，例如 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\,(1+x)}$。这时必须先把它拆成若干段，使每段只含一个“问题端点”，再逐段判断。

[来源：反常积分](/knowledge/maths/integrals/improper-integral/#definition)

教材先用极限定义无穷限的情形，再用同样的方式处理瑕积分；判断敛散前先写清是哪一个端点出了问题。

## 两类p-积分

### 两类p-积分

| 类型                  | 积分                                                     | 收敛      | 发散       | 收敛时的值            |
| :------------------ | :----------------------------------------------------- | :------ | :------- | :--------------- |
| 无穷限                 | $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$ | $p>1$   | $p\le 1$ | $\dfrac{1}{p-1}$ |
| 瑕积分（瑕点 $x=0$，$p>0$） | $\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^p}$         | $0<p<1$ | $p\ge 1$ | $\dfrac{1}{1-p}$ |

> [!NOTE]
> 瑕积分一行以 $p>0$ 为前提。$p\le 0$ 时 $x^{-p}$ 在 $(0,1]$ 上有界，$x=0$ 不是瑕点，$\int_0^1x^{-p}\,\mathrm{d}x$ 是通常的定积分。

**证明** 两类p-积分的计算

先看无穷限。当 $p\ne 1$，

$$
\int_1^A\frac{\mathrm{d}x}{x^p}=\frac{A^{1-p}-1}{1-p}.
$$

$p>1$ 时 $1-p<0$，$A^{1-p}\to 0$，极限为 $\frac{1}{p-1}$；$p<1$ 时 $A^{1-p}\to+\infty$，积分发散。$p=1$ 时 $\int_1^A\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln A\to+\infty$，同样发散。

再看瑕积分。当 $p\ne 1$，

$$
\int_\varepsilon^1\frac{\mathrm{d}x}{x^p}=\frac{1-\varepsilon^{1-p}}{1-p}.
$$

$0<p<1$ 时 $1-p>0$，$\varepsilon^{1-p}\to 0$，极限为 $\frac{1}{1-p}$；$p>1$ 时 $1-p<0$，$\varepsilon^{1-p}\to+\infty$，积分发散。$p=1$ 时 $\int_\varepsilon^1\frac{\mathrm{d}x}{x}=-\ln\varepsilon\to+\infty$。

> [!TIP]
> **两类p-积分的收敛范围相反**
>
> 无穷限的 $\int_1^{+\infty}x^{-p}\,\mathrm{d}x$ 在 $p>1$ 时收敛：分母次数越高，尾部衰减越快。以 $x=0$ 为瑕点的 $\int_0^1x^{-p}\,\mathrm{d}x$ 在 $p<1$ 时收敛：分母次数越低，瑕点附近增长越慢。可以记成“无穷限大1收敛，瑕积分小1收敛”，套用前先确认是哪一类。

### 比较判别法

设在 $[a,+\infty)$ 上 $0\le f(x)\le g(x)$，且两个函数都连续。

* 若 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛（大收则小收）。
* 若 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 发散，则 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 发散（小发则大发）。

极限形式：设 $f(x)\ge 0$，$g(x)>0$，且

$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda.
$$

* 若 $0<\lambda<+\infty$，则两个积分同敛散。
* 若 $\lambda=0$，且 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛。
* 若 $\lambda=+\infty$，且 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 发散，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 发散。

常用比较对象是 $g(x)=\frac{1}{x^p}$；瑕点 $x=a$ 附近改用 $g(x)=\frac{1}{(x-a)^p}$，并把极限过程换成 $x\to a^+$，其余结论相同。判断时先估计 $f$ 在问题端点附近的主部，再挑 $p$ 使比较对象的敛散已知。

> [!WARNING]
> 比较判别法要求 $f$ 与 $g$ 非负。被积函数变号时不能把它直接与 $g$ 比较；另外，判别法只回答敛散，不给出积分值。

[来源：反常积分](/knowledge/maths/integrals/improper-integral/#properties)

p-积分是后面比较判别法的比较对象，所以这两行要连同收敛范围一起记，不能只记积分值。

## $\Gamma$ 函数

对 $s>0$，定义

$$
\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x.
$$

它把阶乘推广到实数。

主要性质：

1. 递推公式 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$；
2. 阶乘关系 $\Gamma(n+1)=n!$，$n$ 为非负整数；
3. 特殊值 $\Gamma(1)=1$，$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$。

**证明** 递推公式

取 $u=x^{s}$，$\mathrm{d}v=e^{-x}\,\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u=sx^{s-1}\,\mathrm{d}x$，$v=-e^{-x}$。于是

$$
\Gamma(s+1)=\Bigl[-x^se^{-x}\Bigr]_0^{+\infty}
+s\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x.
$$

$x\to+\infty$ 时 $x^se^{-x}\to 0$；$x\to 0^+$ 时，因为 $s>0$，也有 $x^se^{-x}\to 0$。所以边界项为 $0$，即 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$。

> [!NOTE]
> 定义中的 $s>0$ 不能省。$x\to 0^+$ 时 $x^{s-1}e^{-x}$ 与 $x^{s-1}$ 同阶，只有 $s>0$ 时瑕点 $x=0$ 处的积分才收敛；$x\to+\infty$ 时 $e^{-x}$ 的衰减比任何幂都快，那一端对一切 $s$ 都收敛。

[来源：$\Gamma$ 函数](/knowledge/maths/integrals/gamma-function/#definition)

## 学习安排

教材先定义无穷限的反常积分，再用同样的极限方式处理无界函数的瑕积分，最后才讲审敛法与 $\Gamma$ 函数。这个顺序有原因：定义已经说明反常积分是一个极限，所以判断敛散的第一步永远是分清类型、写清极限过程；原函数求不出来时，才轮到比较判别法。

复习时按“分类 → 再选工具”的顺序走：先看是无穷限、瑕点还是两者都有，再看是否含 $\frac{1}{x^p}$ 或 $\frac{1}{(x-a)^p}$ 这类主部，能直接算的直接算，算不出的用比较法。$\Gamma$ 函数放在最后，因为它的收敛性正好用无穷限积分的结论说明。

## 课程约定

* 本课程称无界点为“瑕点”，含瑕点的积分称为瑕积分；瑕点在区间内部时必须从瑕点处拆成两段。
* 区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的积分要先任取分点 $c$ 拆开，两个积分都收敛才称原积分收敛，不按对称极限合并。
* 比较判别法只用于非负函数，比较对象取 $\frac{1}{x^p}$（无穷限）或 $\frac{1}{(x-a)^p}$（瑕点）。
* $\Gamma$ 函数的被积式中，$x$ 的指数是 $s-1$；代入 $s=n+1$ 后才得到 $n!$。

## 易错点

* 把两类p-积分的收敛范围记反。无穷限是 $p>1$ 收敛，瑕积分是 $p<1$ 收敛，先确认类型再套结论。
* 拆开后只验证其中一个积分收敛，就判定整个 $(-\infty,+\infty)$ 上的积分收敛。
* 对 $\int_{-\infty}^{+\infty}x\,\mathrm{d}x$ 用“奇函数在对称区间上积分为零”，忽略它本身发散。
* 把比较判别法用于变号函数，或把“敛散”的结论当成积分值。