# 6.1定积分的元素法

## 阅读入口

* [定积分的元素法](/knowledge/maths/integrals/integration-applications/)
* [曲线之间的面积](/knowledge/maths/integrals/area-between-curves/)
* [旋转体的体积](/knowledge/maths/integrals/solid-of-revolution/)
* [变力做功](/knowledge/maths/integrals/variable-force-work/)

## 元素法

设量 $Q$ 分布在区间 $[a,b]$ 上，并且对区间**可加**：把 $[a,b]$ 分成若干小段，各段对应的量之和等于 $Q$。在 $[x,x+\mathrm{d}x]$ 上，若 $Q$ 的增量 $\Delta Q$ 可近似写成

$$
\Delta Q\approx\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x,
$$

其中 $\mathrm{d}Q$ 与 $\Delta Q$ 的误差在分段细化时受到一致控制，例如误差为一致的 $o(\mathrm{d}x)$，则称 $\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x$ 为量 $Q$ 的**积分微元**（简称微元），并且

$$
Q=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x.
$$

“可加性”保证各段能累加成积分，“线性主部”与对余项的一致控制保证分段累加后的总误差趋于零。两个条件缺一不可。

[来源：定积分的元素法](/knowledge/maths/integrals/integration-applications/#definition)

定义里“可加性”与“线性主部”是本节的判断标准；“课程约定”把三类量各自的微元写法固定下来，做题时对照检查。

## 三类典型应用

由曲线 $y=f(x)$（$f(x)\ge 0$）、$x$ 轴及直线 $x=a$、$x=b$ 围成的曲边梯形，在 $x$ 处取宽 $\mathrm{d}x$ 的窄条，高近似为 $f(x)$，于是

$$
\mathrm{d}A=f(x)\,\mathrm{d}x,\qquad A=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x.
$$

若图形由上下两条曲线 $y=f(x)$、$y=g(x)$（$f(x)\ge g(x)$）围成，微元的高换成两者之差：

$$
\mathrm{d}A=\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x,\qquad
A=\int_a^b\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x.
$$

[来源：曲线之间的面积](/knowledge/maths/integrals/area-between-curves/#definition)

由 $y=f(x)$、$x$ 轴及 $x=a$、$x=b$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转，在 $x$ 处截出厚 $\mathrm{d}x$ 的薄圆盘，底面半径为 $|f(x)|$，于是

$$
\mathrm{d}V=\pi f^2(x)\,\mathrm{d}x,\qquad
V=\pi\int_a^bf^2(x)\,\mathrm{d}x.
$$

[来源：旋转体的体积](/knowledge/maths/integrals/solid-of-revolution/#definition)

物体在沿 $x$ 轴方向的变力 $F(x)$ 作用下从 $x=a$ 移到 $x=b$。位移 $\mathrm{d}x$ 很小时 $F(x)$ 可近似看作常数，功微元为

$$
\mathrm{d}W=F(x)\,\mathrm{d}x,\qquad W=\int_a^bF(x)\,\mathrm{d}x.
$$

[来源：变力做功](/knowledge/maths/integrals/variable-force-work/#definition)

三类的顺序与教材的例子一致；做完题把微元与图形的几何量对一遍，比急着积分更容易发现写错的 $f(x)$。

## 学习安排

元素法先给出一般步骤，再按“面积 → 体积 → 功”的顺序逐类应用。每个例子都落在同一个模式上：先确认量对区间可加，再写微元，最后积分。复习时从“这个量的微元是什么”入手。

## 课程约定

* 本课程用 $\mathrm{d}Q$ 表示微元，用 $\Delta Q$ 表示小区间上的实际增量；写微元时只保留 $\mathrm{d}x$ 的线性项，高阶无穷小一律略去。
* 面积微元的高取“上曲线减下曲线”。
* 旋转体体积默认绕 $x$ 轴旋转，微元是垂直于 $x$ 轴的薄圆盘，半径取曲线到旋转轴的距离。
* 变力做功的自变量是位移，只有力的方向与位移方向一致时，功才等于力对位移的积分。

## 易错点

* 不检验可加性就写积分。元素法只适用于整体等于各部分之和的量。
* 把 $\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x$ 中的 $f(x)$ 当成整个小区间上的增量，忘记它只是线性主部。
* 绕 $x$ 轴旋转时把体积微元写成 $\pi f(x)\,\mathrm{d}x$，漏掉半径的平方。
* 面积题直接用定积分而不看函数是否变号，得到负值；$f$ 在区间上变号时，要先在零点处拆开再逐段积分。