# 7.1微分方程的基本概念

## 阅读入口

* [微分方程的基本概念](/knowledge/maths/differential-equations/differential-equation-basics/)

## 基本术语

含有未知函数、未知函数的导数（或微分）以及自变量的方程称为**微分方程**。方程中必须出现未知函数的导数或微分，但不必显式出现自变量。

例如 $y'+2xy=\sin x$ 是微分方程；$y^2+x^2=1$ 只含未知函数与自变量，是代数方程，不是微分方程。

### 常微分方程与偏微分方程

* **常微分方程**：未知函数只含一个自变量，例如 $y=y(x)$。
* **偏微分方程**：未知函数含两个或两个以上自变量，并且方程中出现偏导数，例如 $u=u(x,t)$。

本页只讨论常微分方程，未知函数记为 $y=y(x)$，导数用 $y'$、$y''$、$\dots$、$y^{(n)}$ 表示，其中

$$
y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.
$$

导数的定义与记号见[导数的定义与几何意义](/knowledge/maths/derivatives/derivative/)。

### 阶

微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数，称为方程的**阶**。

$$
y'+ky=0
$$

是一阶方程；

$$
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
$$

是二阶方程。

### 解

设 $y=\varphi(x)$ 在区间 $I$ 上有直到 $n$ 阶的导数。若把 $\varphi$ 代入方程后，等式在 $I$ 上恒成立，则称 $\varphi$ 是方程在 $I$ 上的**解**。解必须在使方程各项都有意义的区间上讨论。

### 通解与特解

$n$ 阶方程的通解是含有 $n$ 个相互独立任意常数的解族：

$$
y=\varphi(x,C_1,C_2,\dots,C_n).
$$

“相互独立”指这些常数不能通过重新组合合并成更少的常数。一阶方程的通解含一个常数 $C$，二阶方程的通解含两个常数 $C_1,C_2$。

不含任意常数的解称为**特解**。特解通常由初始条件从通解中选出。

> [!NOTE]
> 通解是带有 $n$ 个独立常数的解族，但未必包含方程的每一个解。求解过程中如果除以过可能为零的式子，需要单独检查被除掉的常数解。可分离变量方程的处理见[可分离变量的微分方程](/knowledge/maths/differential-equations/separable-differential-equation/)。

### 初始条件与初值问题

用来确定通解中任意常数的条件称为**初始条件**。在 $x=x_0$ 处，一阶方程给一个条件

$$
y\vert_{x=x_0}=y_0,
$$

二阶方程给两个条件

$$
y\vert_{x=x_0}=y_0,\qquad y'\vert_{x=x_0}=y'_0.
$$

一般地，$n$ 阶方程需要 $y,y',\dots,y^{(n-1)}$ 在 $x_0$ 处的值。求微分方程满足给定初始条件的解的问题，称为**初值问题**。

[来源：微分方程的基本概念](/knowledge/maths/differential-equations/differential-equation-basics/#definition)

术语这一段是后面两节的判据；“课程约定”里的记号与编号规则，都从这里的阶、通解与初始条件推出。

## 学习安排

第7章按“先立术语，再学解法”的顺序编排：7.1定义微分方程、阶、解、通解、特解和初值问题；7.2从可分离变量方程开始给出完整求解流程；7.3的齐次方程换元后仍归结为7.2。

初读7.1时先能判断一个式子是不是微分方程、属于常微分方程还是偏微分方程、是几阶，再用7.2、7.3算出的通解和特解对照这些定义。人口增长模型说明方程可以由变化率的假设列出来。

## 课程约定

* 未知函数默认写成 $y=y(x)$，导数用 $y'$、$y''$ 简写，需要强调自变量时再写 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。
* 初始条件统一写成 $y\vert_{x=x_0}=y_0$；二阶方程再加一条 $y'\vert_{x=x_0}=y'_0$。
* 通解中的任意常数按阶数编号，一阶用 $C$，二阶用 $C_1,C_2$。
* 判断方程类型时先数自变量个数，再找最高阶导数。第7章只讨论常微分方程，偏微分方程在这里只需识别。

## 易错点

* 只看式子里有没有 $x$ 和 $y$ 就判断是微分方程。必须出现未知函数的导数或微分；$y^2+x^2=1$ 不是微分方程。
* 把“阶”与最高阶导数的次数混为一谈。阶看导数的最高阶数，例如 $y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$ 是二阶。
* 看到解里有两个常数就认定是二阶方程的通解。通解要求常数个数等于阶数，并且这些常数相互独立。
* 把通解当成方程的全部解。求解时若除以过可能为零的式子，被排除的常数解要单独检查，这一点在7.2会反复用到。