# 7.3齐次方程

## 阅读入口

* [齐次方程](/knowledge/maths/differential-equations/homogeneous-differential-equation/)
* [可分离变量的微分方程](/knowledge/maths/differential-equations/separable-differential-equation/)

## 齐次方程的定义

一阶微分方程

$$
y'=f(x,y)
$$

如果存在函数 $\varphi$，使得在 $x\ne 0$ 时

$$
f(x,y)=\varphi\left(\frac{y}{x}\right),
$$

则称它为**齐次方程**。写成 $\varphi\left(\dfrac{x}{y}\right)$ 也可以，因为 $\dfrac{x}{y}=1\big/\dfrac{y}{x}$，两种写法只差对 $\varphi$ 的重新定义。

等价的判定是：$f$ 为零次齐次函数，即对任意 $\lambda\ne 0$，

$$
f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y).
$$

实际操作时，检查分子、分母中每一项关于 $x$ 与 $y$ 的总次数是否相同。例如

$$
y'=\frac{x^2+y^2}{xy}
$$

中，分子两项都是二次，分母 $xy$ 也是 $1+1=2$ 次；右端可写成

$$
\frac{x}{y}+\frac{y}{x},
$$

符合齐次方程的形式。

> [!NOTE]
> 这里的“齐次”指右端函数 $f$ 是零次齐次的，与线性方程中的“齐次”含义不同。本页讨论的是齐次微分方程 $y'=f\left(\dfrac yx\right)$。

分子或分母中出现单独常数项时，方程一般不再是齐次方程，需要先尝试下文的平移变换。

[来源：齐次方程](/knowledge/maths/differential-equations/homogeneous-differential-equation/#definition)

定义这一段给了两种判定：能写成 $\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$，或右端是零次齐次函数；两种说法在作业里都会出现。

## 换元解法

1. **确认形式**

   把方程整理成 $y'=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$，并确认讨论区间上 $x\ne 0$。

2. **换元**

   令 $u=\dfrac{y}{x}$，即 $y=ux$。

3. **求导**

   由乘积求导法则，

   $$
   y'=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.
   $$

4. **代入并整理**

   将 $y'$ 与 $\dfrac{y}{x}$ 分别换成上式与 $u$：

   $$
   u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u),
   \qquad
   x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u)-u.
   $$

5. **分离变量并积分**

   当 $\varphi(u)-u\ne 0$ 时，

   $$
   \frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x},
   $$

   两边积分得到关于 $u$ 与 $x$ 的关系。

6. **还原变量**

   把 $u$ 换回 $\dfrac{y}{x}$，整理成显式或隐式解。

换元后的方程关于 $u$ 与 $x$ 可分离，按[可分离变量的微分方程](/knowledge/maths/differential-equations/separable-differential-equation/)的步骤积分即可。

> [!WARNING]
> 当 $\varphi(u_0)-u_0=0$ 时，$u=u_0$ 给出直线解 $y=u_0x$；第5步除以 $\varphi(u)-u$ 会把它排除在外，最后要单独检查。积分完成后也不能忘记把 $u$ 还原为 $\dfrac{y}{x}$。

### 可化为齐次的方程

形如

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}
$$

的方程，在 $c_1,c_2$ 不全为零时，可以通过平移坐标轴消去常数项，化为齐次方程。

先解方程组

$$
\begin{cases}
a_1x+b_1y+c_1=0,\\
a_2x+b_2y+c_2=0,
\end{cases}
$$

设交点为 $(h,k)$。令

$$
X=x-h,\qquad Y=y-k,
$$

则 $x=X+h$、$y=Y+k$，代入后常数项抵消，方程变为

$$
\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}
=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y},
$$

这是关于 $X,Y$ 的齐次方程。求出解后，再把 $X=x-h$、$Y=y-k$ 代回。

> [!IMPORTANT]
> 平移法要求两条直线 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 与 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 相交，即 $a_1b_2-a_2b_1\ne 0$。若 $a_1b_2-a_2b_1=0$，两直线平行，方程组没有唯一解，平移法不能使用。此时 $a_2x+b_2y$ 与 $a_1x+b_1y$ 只差一个常数倍，令 $z=a_1x+b_1y$ 可把原方程化为关于 $z$ 与 $x$ 的可分离变量方程。

[来源：齐次方程](/knowledge/maths/differential-equations/homogeneous-differential-equation/#method)

步骤表里的还原变量是本节最常丢的一步；“易错点”把它列在最后一条，检查答案时对着看。

## 学习安排

7.3排在7.2之后，因为齐次方程没有独立于分离变量法的新解法：换元 $u=\dfrac{y}{x}$ 只是把方程改造成7.2的形式。教材的顺序是定义与判断、换元步骤、完整例题，最后补充可化为齐次的平移法。

复习时把三步分开检查：能不能化成 $\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$、换元后有没有得到可分离方程、最后有没有还原 $u$。可化为齐次的部分先看两条直线是否相交，再决定用平移还是整体换元。

## 课程约定

* 统一令 $u=\dfrac{y}{x}$，于是 $y=ux$，$y'=u+xu'$。
* 判断齐次优先用次数法：把分子、分母每一项中 $x$ 与 $y$ 的次数相加，总次数相同才可能是齐次。
* 换元后一律先整理成 $x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u)-u$，再决定怎么分离。
* 答案可以保留隐式形式，但必须把 $u$ 全部换回 $\dfrac{y}{x}$。

## 易错点

* 把这里的“齐次”与线性齐次方程 $y'+p(x)y=0$ 混为一谈。这里要求右端是零次齐次函数。
* 换元时只把 $y$ 换成 $ux$，忘记 $y'$ 也要换成 $u+xu'$，导致方程里同时出现 $y'$ 和 $u$。
* 分离时除以 $\varphi(u)-u$，漏掉 $\varphi(u)=u$ 对应的直线解 $y=u_0x$。
* 遇到 $\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$ 直接平移，不先检查两条直线是否相交；平行时平移法失效，要改用 $z=a_1x+b_1y$。
* 算出 $u$ 的关系就停手，忘记还原变量。