# 8.1向量及其线性运算

## 阅读入口

* [向量及其线性运算](/knowledge/maths/analytic-geometry/vectors/)

## 学习安排

本节先讲向量的概念与空间直角坐标系，再把加减与数乘写成坐标运算，最后用模、方向角与投影收尾。坐标表示是几何操作的计算入口，后面的度量与投影都在坐标上完成。

复习时按“坐标 → 线性运算 → 平行判定 → 模与方向余弦 → 投影”走一遍，每一步都用几何意义检查结果是否合理。

## 向量的坐标表示

空间中既有大小又有方向的量称为**向量**，用粗体字母 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 表示。向量的长度称为**模**，记作 $|\mathbf{a}|$。模为 $1$ 的向量称为**单位向量**，模为 $0$ 的向量称为**零向量**，记作 $\mathbf{0}$。

向量由模和方向确定，与起点的位置无关：模相等、方向相同的两个向量视为同一个向量，因此可以平移后再比较。模相等、方向相反的向量互为**负向量**，$\mathbf{a}$ 的负向量记作 $-\mathbf{a}$。方向相同或相反的非零向量称为**共线向量**，也称平行向量，记作 $\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}$；并规定零向量与任何向量平行。

对非零向量 $\mathbf{a}$，与它同向的单位向量为

$$
\mathbf{e}_a=\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}.
$$

### 空间直角坐标系

取两两垂直的 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，使 $x\to y\to z$ 的方向符合右手定则，得到右手系 $O-xyz$。沿三个轴的正向各取单位向量 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$，它们构成一组基。空间任一点 $P$ 的位置向量 $\overrightarrow{OP}$ 可以唯一地写成

$$
\overrightarrow{OP}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}=(a_x,a_y,a_z),
$$

有序三元组 $(a_x,a_y,a_z)$ 就是向量 $\overrightarrow{OP}$ 在这组基下的**坐标**，$a_x,a_y,a_z$ 分别称为它在 $x,y,z$ 轴方向上的分量。

以 $M_1(x_1,y_1,z_1)$ 为起点、$M_2(x_2,y_2,z_2)$ 为终点的向量按“终点减起点”计算：

$$
\overrightarrow{M_1M_2}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1).
$$

<!-- more -->

零向量的坐标是 $(0,0,0)$。坐标依赖所选的基，本节所有坐标公式都在同一组基下计算。

[来源：向量及其线性运算](/knowledge/maths/analytic-geometry/vectors/#definition)

坐标系把点与向量都压成三元组，此后几何条件才能化成等式。读定义时先分清同一个三元组在两种语境下的含义：作点的坐标是位置，作向量的坐标是位移。

## 线性运算、模与方向余弦

### 线性运算

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$，$\lambda\in\mathbb{R}$，则加减法与数乘都按分量进行：

$$
\mathbf{a}\pm\mathbf{b}=(a_1\pm b_1,\ a_2\pm b_2,\ a_3\pm b_3),\qquad
\lambda\mathbf{a}=(\lambda a_1,\ \lambda a_2,\ \lambda a_3).
$$

由定义可直接得到

$$
\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a},\qquad
(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c}),
$$

$$
\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b},\qquad
(\lambda+\mu)\mathbf{a}=\lambda\mathbf{a}+\mu\mathbf{a},\qquad
1\mathbf{a}=\mathbf{a}.
$$

### 平行与共线

对 $\mathbf{b}\ne\mathbf{0}$，$\mathbf{a}\parallel\mathbf{b}$ 当且仅当存在唯一实数 $\lambda$ 使

$$
\mathbf{a}=\lambda\mathbf{b},
$$

即 $(a_1,a_2,a_3)=\lambda(b_1,b_2,b_3)$。若 $b_1,b_2,b_3$ 都不为零，这个条件可以写成比值形式

$$
\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}=\lambda.
$$

$\lambda>0$ 时两向量同向，$\lambda<0$ 时反向，$|\lambda|$ 是两者模之比。

**比值形式默认分母不为零。** 若 $\mathbf{b}$ 有分量为 $0$，对应的 $\mathbf{a}$ 分量也必须为 $0$，这时应回到 $\mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}$ 判断；直接写比值会漏掉这类情形。

### 模

$$
|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2},
$$

且 $|\mathbf{a}|\ge 0$，$|\mathbf{a}|=0$ 当且仅当 $\mathbf{a}=\mathbf{0}$。数乘满足 $|\lambda\mathbf{a}|=|\lambda|\,|\mathbf{a}|$，模还满足三角不等式

$$
|\mathbf{a}+\mathbf{b}|\le|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|.
$$

### 方向角与方向余弦

非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $x,y,z$ 轴正向的夹角 $\alpha,\beta,\gamma\in[0,\pi]$ 称为它的**方向角**，其余弦称为**方向余弦**：

$$
\cos\alpha=\frac{a_1}{|\mathbf{a}|},\qquad
\cos\beta=\frac{a_2}{|\mathbf{a}|},\qquad
\cos\gamma=\frac{a_3}{|\mathbf{a}|}.
$$

三者满足

$$
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1,
$$

并且 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 正是与 $\mathbf{a}$ 同向的单位向量 $\mathbf{e}_a$ 的坐标。

方向角量的是与三条坐标轴**正向**的夹角，不是与坐标轴所在直线的夹角，也不是与坐标平面的夹角。零向量没有方向，因此没有方向角。

### 投影

设 $\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角，则 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{b}$ 方向上的**投影**是一个数

$$
\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}=|\mathbf{a}|\cos\theta.
$$

$\theta$ 为锐角时投影为正，为钝角时为负，$\theta=90^\circ$ 时投影为零。把投影乘上 $\mathbf{b}$ 方向的单位向量，得到**投影向量**

$$
(\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a})\,\mathbf{e}_b.
$$

投影对第一个向量是线性的：

$$
\operatorname{Prj}_{\mathbf b}(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2)=\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}_1+\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}_2,
\qquad
\operatorname{Prj}_{\mathbf b}(\lambda\mathbf{a})=\lambda\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}.
$$

用数量积表示就是 $\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{e}_b$，数量积的定义见[数量积](/knowledge/maths/analytic-geometry/dot-product/)。

> [!IMPORTANT]
> 平行、模、投影是三个不同的判断：平行看两个向量的坐标能否互相表示，模只量长度、不区分方向，投影则把向量压成一个带符号的数，所以它可以是负的。做题时先写清楚要求的是哪一个量，再选公式。

[来源：向量及其线性运算](/knowledge/maths/analytic-geometry/vectors/#properties)

这一组性质是8.2的直接工具：数量积要用模与夹角余弦，向量积要用坐标做行列式展开。

## 课程约定

* 本节先用 $\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$ 说明坐标的含义，进入线性运算后改用 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$。两种下标指的是同一组坐标，做题时统一成一种即可。
* 向量用粗体字母，模写成 $|\mathbf{a}|$，与 $\mathbf{a}$ 同向的单位向量记作 $\mathbf{e}_a$。
* 投影写成 $\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a}$，结果是数量；要得到投影向量，还要乘上 $\mathbf{b}$ 方向的单位向量。

## 重点

本节的重点是方向余弦的平方和：知道其中两个方向角，第三个只剩符号待定。其余内容通过分量计算，把几何条件翻译成坐标条件。

## 易错点

* 平行的比值写法在分量为 $0$ 时失效，这种情况按 $\mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}$ 逐分量处理。
* 方向角是与三条坐标轴正向的夹角，可以取钝角；零向量没有方向角。
* 投影是可正可负的数量，模永远非负，两个量不要混。