# 8.2数量积、向量积与混合积

## 阅读入口

* [向量及其线性运算](/knowledge/maths/analytic-geometry/vectors/)
* [数量积](/knowledge/maths/analytic-geometry/dot-product/)
* [向量积](/knowledge/maths/analytic-geometry/vector-products/)
* [混合积](/knowledge/maths/analytic-geometry/mixed-product/)

## 学习安排

教材按结果的类型排列三节：数量积得到数，向量积得到向量，混合积又回到数。每节都按“定义 → 坐标运算 → 应用与几何意义”展开，可以对照着读，把几何条件和坐标公式一一对应起来。

先修内容是坐标表示与模的算法，见[向量及其线性运算](/knowledge/maths/analytic-geometry/vectors/)。本章下一节求平面法向量时，用的就是这一节的向量积。

## 三种乘积的定义

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$、$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$，$\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

两个向量的**数量积**（点积、内积）是一个数：

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta.
$$

只要有一个因子是零向量，数量积规定为 $0$。在坐标下

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
$$

它的几何意义是“一个向量的模乘以另一个向量在它方向上的投影”：

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\operatorname{Prj}_{\mathbf a}\mathbf{b}
=|\mathbf{b}|\operatorname{Prj}_{\mathbf b}\mathbf{a},
$$

其中投影的定义见[向量及其线性运算](/knowledge/maths/analytic-geometry/vectors/)。恒力 $\mathbf{F}$ 沿位移 $\mathbf{s}$ 做的功就是 $W=\mathbf{F}\cdot\mathbf{s}$，这是数量积最直接的物理来源。

[来源：向量的数量积](/knowledge/maths/analytic-geometry/dot-product/#definition)

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$、$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$，$\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

两个向量的**向量积**（叉积、外积）是一个向量 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$，由模和方向共同确定：

1. 模 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$，等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形的面积；
2. 方向同时垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，并且 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 依次构成右手系，这就是**右手定则**。

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$ 当且仅当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，包括其中一个是零向量的情形。

坐标公式是形式行列式，按第一行展开：

$$
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
=(a_2b_3-a_3b_2)\,\mathbf{i}+(a_3b_1-a_1b_3)\,\mathbf{j}+(a_1b_2-a_2b_1)\,\mathbf{k}.
$$

[来源：向量积](/knowledge/maths/analytic-geometry/vector-products/#definition)

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$、$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$，$\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

三个向量的**混合积**是一个数：

$$
[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}.
$$

坐标公式是三阶行列式：

$$
[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]=
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3\\
c_1 & c_2 & c_3
\end{vmatrix}.
$$

它的绝对值等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 为棱的平行六面体的体积。$[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]>0$ 当且仅当 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 依次构成右手系；混合积等于 $0$ 时三个向量共面。以这三个向量为棱的四面体体积为 $\frac16|[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]|$。

[来源：向量的混合积](/knowledge/maths/analytic-geometry/mixed-product/#definition)

三种乘积的公式都写在坐标里，遇到具体向量直接代分量，不必先求夹角。

## 性质与选择

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a},\qquad
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c},\qquad
(\lambda\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}),
$$

$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=|\mathbf{a}|^2,\qquad
|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}|\le|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|.
$$

后一条是柯西不等式。由定义还能得到两个常用判据：

$$
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}
\quad(\mathbf{a},\mathbf{b}\ne\mathbf{0}),
\qquad
\mathbf{a}\perp\mathbf{b}\iff\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0\quad(\mathbf{a},\mathbf{b}\ne\mathbf{0}).
$$

[来源：向量的数量积](/knowledge/maths/analytic-geometry/dot-product/#properties)

$$
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a}),\qquad
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\mathbf{c},
$$

$$
(\lambda\mathbf{a})\times\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\times\mathbf{b}),\qquad
\mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0},\qquad
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0.
$$

第一条是反交换律：交换两个因子，结果反向。最后一条说明向量积的结果确实同时垂直于两个因子。模还满足拉格朗日恒等式

$$
|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^2=|\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2,
$$

代入 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta$ 即得 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$，与几何定义一致；证明见下文。

向量积的两个直接用途：结果向量是同时垂直于 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的法方向，单位化后可作为法向量；它的模给出平行四边形面积，三角形面积为 $\frac12|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$。需要单位法向量时，把 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ 除以它的模，方向由右手定则确定；若题目要求指向某一侧，整体取反即可，不要改动两个因子的顺序。

[来源：向量积](/knowledge/maths/analytic-geometry/vector-products/#properties)

$$
[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]
=[\mathbf{b}\ \mathbf{c}\ \mathbf{a}]
=[\mathbf{c}\ \mathbf{a}\ \mathbf{b}],
\qquad
[\mathbf{b}\ \mathbf{a}\ \mathbf{c}]=-[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}].
$$

轮换三个向量不改变混合积，交换任意两个向量则改变符号；这个符号差异来自行列式交换两行变号。又因为

$$
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}),
$$

叉积的位置也可以轮换。由此得到共面判据：

$$
\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\ \text{共面}\iff[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]=0.
$$

[来源：向量的混合积](/knowledge/maths/analytic-geometry/mixed-product/#properties)

公式到这里就齐了；写行列式时 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的先后决定符号，课程约定里再固定这一点。

## 课程约定

* 夹角统一记作 $\theta=(\widehat{\mathbf{a},\mathbf{b}})$，取值 $[0,\pi]$。
* 向量积的行列式第一行固定写 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$，后两行依次是 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的坐标。
* 混合积记作 $[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]$，与 $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}$ 是同一个数；写行列式时 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 各占一行。

## 重点

本节被单独标出的是混合积为零判共面：它把前两种乘积串起来，先用向量积得到法方向，再用数量积判断这个法方向是否与第三个向量垂直。求夹角与投影用数量积，求法向量与面积用向量积，求体积与共面用混合积。

## 易错点

* 数量积为零判垂直，向量积为零判共线，两个判据不能互换。
* 混合积是带符号的数，体积要取绝对值；交换任意两个向量，符号改变。
* 向量积不满足交换律，$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})$，写坐标时要保持因子的顺序。