# 8.4空间直线及其方程

## 阅读入口

* [空间直线及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/line-in-space/)
* [平面及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/plane-equation/)

## 学习安排

本节按“一般方程 → 对称式 → 参数方程 → 两直线夹角 → 直线与平面夹角 → 求法”的顺序展开。一般方程由两个平面方程联立，两个不平行平面的交线是一条直线；再由两个法向量的叉乘得到方向向量。对称式与参数方程都把同一点和同一方向换成便于使用的写法。

两直线夹角放在线面夹角之前，因为两者都要比较方向向量与法向量的夹角，线面夹角用的是这一步的余角。先把 $\cos$ 的公式用熟，再记线面夹角改用 $\sin$。

求直线的步骤教材放在最后：先把一般方程化成对称式或参数方程，再令某个坐标为零解出一点，最后用 $\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2$ 确定方向。

## 直线方程的三种写法

过一点并与一个非零向量平行的点的全体构成一条空间直线，这个非零向量称为直线的**方向向量**。方向向量只确定到相差一个非零倍数：把方向向量换成它的非零倍数，直线不变。

### 一般方程

两个不平行平面的交线是一条直线，所以空间直线可以写成

$$
\begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,
\end{cases}
$$

其中两平面的法向量 $\mathbf{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$ 与 $\mathbf{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$ 不平行。直线上的点同时在这两个平面上，所以直线的方向向量垂直于 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$，可以取

$$
\mathbf{s}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
$$

### 对称式方程

设直线过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为 $\mathbf{s}=(m,n,p)$。点 $M(x,y,z)$ 在该直线上，当且仅当 $\overrightarrow{M_0M}$ 与 $\mathbf{s}$ 平行，即存在实数 $\lambda$ 使 $\overrightarrow{M_0M}=\lambda\mathbf{s}$。当 $m,n,p$ 都不为零时，把三个分量分别写成比例：

$$
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}.
$$

这个形式称为**对称式方程**，也称**点向式方程**。三项相等，直接从方程就能读出直线经过的点 $M_0$ 和方向向量 $\mathbf{s}$。

### 参数方程

令对称式中的比值为 $t$，得到**参数方程**

$$
\begin{cases}
x=x_0+mt,\\
y=y_0+nt,\\
z=z_0+pt,
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb{R}.
$$

参数 $t$ 的每个取值对应直线上的一点，$t$ 增大时点沿 $\mathbf{s}$ 的方向移动。求直线与平面的交点时，把参数方程代入平面方程解出 $t$，比消元更快。

<!-- more -->

> [!NOTE]
> 对称式的分母不能为零。方向向量的某个分量为零时（例如 $m=0$），约定 $\dfrac{x-x_0}{0}$ 表示 $x-x_0=0$，即直线上所有点的 $x$ 坐标都是 $x_0$；此时改用参数方程可以避开这个约定。

[来源：空间直线及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/line-in-space/#definition)

三种写法只差一个点和一组方向数，转换时不必重新推导，把点与方向向量对上即可。

## 夹角公式

### 两直线的夹角

设直线 $L_1$、$L_2$ 的方向向量分别为 $\mathbf{s}_1=(m_1,n_1,p_1)$、$\mathbf{s}_2=(m_2,n_2,p_2)$。把两条直线平移到同一个公共起点后，它们的夹角等于方向向量的夹角或其补角，所以按锐角定义：

$$
\cos\varphi
=\frac{\lvert \mathbf{s}_1\cdot\mathbf{s}_2\rvert}{\lvert \mathbf{s}_1\rvert\,\lvert \mathbf{s}_2\rvert}
=\frac{\lvert m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2\rvert}
{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}},
\qquad \varphi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
$$

| 关系      | 条件                                                                                |
| :------ | :-------------------------------------------------------------------------------- |
| 平行（或重合） | $\mathbf{s}_1\parallel\mathbf{s}_2$，即 $\mathbf{s}_1\times\mathbf{s}_2=\mathbf{0}$ |
| 垂直      | $\mathbf{s}_1\cdot\mathbf{s}_2=0$                                                 |

> [!NOTE]
> 方向向量既不平行也不垂直时，两直线可能相交，也可能异面。夹角公式仍然可以算，但判断是否相交要把两条直线的参数方程联立，检查方程组是否有解。

### 直线与平面的夹角

设直线 $L$ 的方向向量为 $\mathbf{s}$，平面 $\Pi$ 的法向量为 $\mathbf{n}$。直线与平面的夹角 $\phi$ 定义为直线与它在平面上的投影的夹角，取 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$。$\mathbf{n}$ 垂直于平面，它与 $\mathbf{s}$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{2}-\phi$（或 $\dfrac{\pi}{2}+\phi$），所以

$$
\sin\phi=\frac{\lvert \mathbf{n}\cdot\mathbf{s}\rvert}{\lvert \mathbf{n}\rvert\,\lvert \mathbf{s}\rvert},
\qquad \phi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
$$

> [!WARNING]
> 直线与平面的夹角用 $\sin$ 计算，两直线、两平面的夹角用 $\cos$ 计算。$\mathbf{n}$ 垂直于平面，它与 $\mathbf{s}$ 的夹角与所求夹角互余，取正弦后正好得到 $\sin\phi=\lvert\cos\langle\mathbf{n},\mathbf{s}\rangle\rvert$。

直线与平面的位置关系按方向向量与法向量的关系判断：

| 关系      | 条件                                                                        |
| :------ | :------------------------------------------------------------------------ |
| 直线在平面内  | $\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0$，且直线上一点在平面上                                  |
| 直线平行于平面 | $\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0$，且直线上一点不在平面上                                 |
| 直线垂直于平面 | $\mathbf{n}\parallel\mathbf{s}$，即 $\mathbf{n}\times\mathbf{s}=\mathbf{0}$ |

> [!NOTE]
> $\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0$ 只说明直线与平面平行或落在平面内。要区分这两种情形，必须把直线上的一个点代入平面方程检验。

[来源：空间直线及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/line-in-space/#properties)

两个夹角公式到这里就齐了；线面夹角多出的那一步是取余角，课程约定里再把范围固定下来。

## 课程约定

* 方向向量记作 $\mathbf{s}=(m,n,p)$，平面法向量记作 $\mathbf{n}$；对称式三个分母依次对应 $x$、$y$、$z$。
* 教材把 $\dfrac{x-x_0}{m}=\dfrac{y-y_0}{n}=\dfrac{z-z_0}{p}$ 称为对称式，并注明它也叫点向式。
* 夹角一律取锐角：两直线夹角 $\varphi$ 与线面夹角 $\phi$ 都在 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，公式分子都带绝对值。
* 找直线上的点时，教材建议令 $x=0$ 或 $z=0$，再解剩下的二元一次方程组。

## 易错点

* 直线与平面的夹角用 $\sin$，不能沿用两直线夹角的 $\cos$；$\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{s}$ 的夹角是所求夹角的余角。
* 求方向向量时写成 $\mathbf{n}_2\times\mathbf{n}_1$ 只是改变符号，得到的仍是同一条直线，不要因为分量不同就判定算错。
* $\mathbf{n}\cdot\mathbf{s}=0$ 只说明直线平行于平面或落在平面内，必须把直线上一点代入平面方程才能区分。
* 对称式的分母为零时不能直接约分或求值，要按约定理解为对应的分子为零，即该坐标是常数。