# 8.5曲面及其方程

## 阅读入口

* [曲面及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/quadric-surfaces/)
* [二次曲面](/knowledge/maths/analytic-geometry/quadrics/)
* [空间曲线及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/space-curves/)

## 学习安排

教材先提出曲面研究的两个方向：由几何条件建立方程，和由方程反推形状。之后按“旋转曲面 → 柱面 → 二次曲面”的顺序展开：前两类给出构造规则，二次曲面则用标准方程归类。

空间曲线在本节末尾按“两个曲面的交线”给出初步认识，完整讨论见8.6。

## 旋转曲面

一条平面曲线 $C$ 绕它所在平面内的一条定直线 $l$ 旋转一周，所生成的曲面称为**旋转曲面**，$l$ 称为旋转轴，$C$ 称为母线。

设母线在 $yOz$ 坐标面内，方程为

$$
f(y,z)=0 .
$$

曲面上任一点 $M(x,y,z)$ 由母线上某点 $M_1(0,y_1,z)$ 绕 $z$ 轴旋转得到，两点到 $z$ 轴的距离相等，即

$$
\sqrt{x^2+y^2}=\vert y_1\vert .
$$

因此把方程中的 $y$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$、$z$ 保持不变，就得到绕 $z$ 轴旋转的曲面方程：

$$
f\bigl(\pm\sqrt{x^2+y^2},\,z\bigr)=0 .
$$

绕 $y$ 轴旋转时，$y$ 不变，把 $z$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$：

$$
f\bigl(y,\,\pm\sqrt{x^2+z^2}\bigr)=0 .
$$

母线在别的坐标面内时，先把方程写成含旋转轴坐标的形式，再替换与旋转轴垂直的那个坐标。

> [!TIP]
> 绕哪根轴旋转，哪个变量就不动，另一个变量换成另外两个变量平方和的平方根。替换时应取正负分支所对应点集的并；能否平方消去符号取决于母线方程，还要检查原方程的约束，避免漏掉或引入点。

[来源：旋转曲面](/knowledge/maths/analytic-geometry/revolution-surface/#definition)

旋转曲面由一条母线绕定轴扫出，写方程时只要盯住那个不动的变量。

## 柱面

一条动直线 $l$ 沿定曲线 $C$ 移动，并且始终平行于一条定直线，这样生成的曲面称为**柱面**。定曲线 $C$ 称为准线，动直线 $l$ 称为母线。母线只决定延展方向，柱面的形状由准线决定。

由方程判断柱面：

* 方程中不含 $z$，形如 $f(x,y)=0$：截面 $z=z_0$ 上的截痕都是同一条曲线，曲面由平行于 $z$ 轴的直线组成，是母线平行于 $z$ 轴的柱面，准线在 $Oxy$ 面内。
* 方程中不含 $x$，形如 $f(y,z)=0$：母线平行于 $x$ 轴，准线在 $Oyz$ 面内。
* 方程中不含 $y$，形如 $f(x,z)=0$：母线平行于 $y$ 轴，准线在 $Oxz$ 面内。

> [!WARNING]
> $f(x,y)=0$ 在 $Oxy$ 面上是一条曲线，在空间中却是一个柱面。不要把它当成平面曲线；再补上 $z=0$，才把它压回坐标面。

常见的柱面：

* $x^2+y^2=R^2$：圆柱面，准线是 $Oxy$ 面上的圆，母线平行 $z$ 轴。
* $y^2=2px$：抛物柱面，准线是 $Oxy$ 面内的抛物线。
* $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$：椭圆柱面。
* $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$：双曲柱面。

当这样的柱面由空间曲线消去 $z$ 得到时，称为该曲线关于 $Oxy$ 面的投影柱面，具体用法见[空间曲线及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/space-curves/)。

[来源：柱面](/knowledge/maths/analytic-geometry/cylinder-surface/#definition)

柱面的母线始终平行于一个方向，动的方式与旋转曲面不同，判断方法也从“绕”变成“缺变量”。

## 二次曲面

三元二次方程（各项次数都不超过 $2$）所表示的曲面称为**二次曲面**。通过坐标平移与旋转化简后，常见类型可以用标准方程识别；下表均取 $a,b,c>0$。

| 名称         | 标准方程                                                    | 形状要点                                                    |
| :--------- | :------------------------------------------------------ | :------------------------------------------------------ |
| 椭球面        | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$  | 有界；三个方向的截痕都是椭圆                                          |
| 椭圆抛物面      | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z$                   | 碗状，$z\ge 0$，顶点在原点，向 $z$ 轴正向无限张开                         |
| 双曲抛物面（马鞍面） | $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=z$                   | 鞍形；$y=0$ 的截痕开口向上，$x=0$ 的截痕开口向下，$z=0$ 的截痕是两条相交直线         |
| 单叶双曲面      | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$  | 连成一片，形如冷却塔；$z=z_0$ 的截痕总是椭圆，$z=0$ 处最细                    |
| 双叶双曲面      | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1$ | 分成两支，$\vert z\vert\ge c$；只有 $\vert z_0\vert\ge c$ 时才有截痕 |
| 二次锥面       | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=z^2$                 | 顶点在原点；$z=z_0\ne 0$ 时截痕是椭圆，$z_0=0$ 时缩成顶点                 |

双叶双曲面也可以写成 $\dfrac{z^2}{c^2}-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。轮换 $x,y,z$ 就得到沿其他坐标轴张开的形式，例如 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ 的两支沿 $x$ 轴方向张开。

> [!NOTE]
> 区分单叶与双叶只看方程右端：左端相同的 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$ 连成一片，右端改成 $-1$ 就分成两支。判断前先把方程整理成“平方项之和等于常数”的形式，再数正负号。

[来源：二次曲面](/knowledge/maths/analytic-geometry/quadrics/#definition)

二次曲面的标准方程与图形并列在同一张表里，判断时对着表逐项排除即可。

## 课程约定

* 旋转曲面与柱面都先给母线，再看它如何运动。教材把母线与旋转轴放在 $yOz$ 面内讨论，换到其他坐标面时轮换变量即可。
* 二次曲面的标准方程统一写成 $a,b,c>0$ 的形式。比较不同曲面时，只看平方项前的符号与方程右端的常数。
* 柱面的判断沿用教材的说法：方程中缺哪个变量，柱面就平行于哪根轴。

## 重点

* 旋转曲面的替换规则：绕哪根轴转，该轴对应的变量不动，另一个变量换成另外两个变量平方和的平方根。
* 二次曲面的分类顺序：先看是不是柱面，再看平方项的个数与符号。椭球面三个平方项同号且有常数项；抛物面有一个变量是一次的；双曲面两个平方项同号、一个异号；锥面没有常数项。

## 易错点

* 柱面的准线是曲线、母线是直线，教材的用词容易记反。
* 单叶双曲面与双叶双曲面的差别在方程右端：同一个左端，右端为 $1$ 时连成一片，改成 $-1$ 才分成两支。
* 旋转曲面方程中不保留 $\pm$：替换后平方，正负两个根给出同一个方程。
* 缺变量的方程在空间中表示柱面，不是坐标面上的那条曲线；要得到平面曲线还得补上第三个坐标的方程。

## 复习要点

判断二次曲面类型前，先把方程整理成“三个平方项与常数”的标准形式，再数正负号。遇到一次项与二次项分居两边的写法，先移项再判断；两方向的截痕开口相反就是马鞍面。复习时回到知识点的截痕法，用 $z=z_0$ 的截痕范围核对判断结果。