# 8.6空间曲线及其方程

## 阅读入口

* [空间曲线及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/space-curves/)
* [曲面及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/quadric-surfaces/)

## 学习安排

教材按“一般方程 → 参数方程 → 投影 → 截痕法应用”的顺序展开。先讲一般方程，是因为投影的消元法直接建立在“两个曲面方程联立”之上；参数方程插在中间，给螺旋线一个具体模型；最后用平面斜截圆柱面的例子把投影和截痕合起来用。

读这一节时先把消元的目标记清楚：消去哪个变量，投影柱面就属于剩下两个变量所张成的那个坐标面。截痕法在8.5已用于曲面，这里只是换成曲线所在的平面与柱面。

## 曲线的两种方程

### 一般方程

空间曲线 $C$ 通常看作两个曲面 $S_1$ 与 $S_2$ 的交线。设两曲面的方程分别为 $F(x,y,z)=0$ 与 $G(x,y,z)=0$，则

$$
\begin{cases}
F(x,y,z)=0,\\
G(x,y,z)=0
\end{cases}
$$

称为曲线 $C$ 的**一般方程**。点 $(x,y,z)$ 在 $C$ 上，当且仅当它同时满足这两个方程，即同时位于两个曲面上。

两个曲面不能重合，否则交集是曲面而不是曲线。一般方程也不唯一：过曲线 $C$ 的任意两个曲面都可以组成 $C$ 的一般方程，取不同的曲面会得到不同的写法。

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### 参数方程

把曲线上点的坐标写成同一个参数 $t$ 的函数：

$$
\begin{cases}
x=x(t),\\
y=y(t),\\
z=z(t),
\end{cases}
\quad t\in[\alpha,\beta].
$$

$t$ 通常代表时间或角度，$t$ 取遍 $[\alpha,\beta]$ 时点 $(x(t),y(t),z(t))$ 描出整条曲线。参数方程给出了点的运动顺序，一般方程只给出点必须同时满足的条件。

两种方程描述同一条曲线。常见的曲线可以互化：从参数方程消去 $t$ 可得一般方程；从一般方程解出 $x,y,z$ 关于某个参数的表达式，可得参数方程。参数方程不唯一，同一曲线可以用不同的参数写出，参数区间的取法也会影响曲线被描出的次数。

[来源：空间曲线及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/space-curves/#definition)

两张曲面联立是这一节所有计算的起点：投影要在方程组上消元，截痕要在它上面代入平面。

## 投影柱面与投影曲线

设空间曲线 $C$ 的一般方程为

$$
\begin{cases}
F(x,y,z)=0,\\
G(x,y,z)=0 .
\end{cases}
$$

从方程组中消去 $z$，得到只含 $x,y$ 的方程

$$
H(x,y)=0 .
$$

$C$ 上每一点的坐标都满足 $H(x,y)=0$，而 $H(x,y)=0$ 在空间中表示一个母线平行于 $z$ 轴的柱面，$C$ 整个落在这个柱面上。这个柱面称为 $C$ 关于 $Oxy$ 面的**投影柱面**。

投影柱面与 $Oxy$ 面的交线就是 $C$ 在 $Oxy$ 面上的**投影曲线**，其方程为

$$
\begin{cases}
H(x,y)=0,\\
z=0 .
\end{cases}
$$

投影曲线只含 $x,y$ 两个变量，是一条平面曲线。同理，消去 $y$ 得到关于 $Oxz$ 面的投影柱面，再与 $y=0$ 联立得到 $Oxz$ 面上的投影曲线；消去 $x$ 则对应 $Oyz$ 面。

> [!WARNING]
> 消元得到的 $H(x,y)=0$ 是投影柱面，不是投影曲线。投影曲线还要与坐标面方程 $z=0$ 联立。反过来，柱面上的点也不一定都在 $C$ 上：消元只保留了必要条件，个别点上可能解不出对应的 $z$，需要回代检验。

求投影曲线的步骤：

1. **写出曲线的方程**

   一般方程或参数方程都可以；用参数方程时，后面消去的是参数 $t$。

2. **消去一个变量**

   求 $Oxy$ 面上的投影时消去 $z$：把两个方程联立消去 $z$，得到只含 $x,y$ 的方程 $H(x,y)=0$。

3. **与投影面联立**

   把 $H(x,y)=0$ 与 $z=0$ 写在一起，才是投影曲线的方程。

4. **回代检验范围**

   把结果代回原方程，确认哪些部分真正属于 $C$，并注明 $x,y$ 的取值范围。

这与曲面的截痕法方向相反：截痕法用平面去截已知曲面，投影则把空间曲线压到一个坐标面上。两种手段常常一起用，先用截痕判断曲线的大致形状，再用投影写出它在坐标面上的方程。

[来源：空间曲线及其方程](/knowledge/maths/analytic-geometry/space-curves/#projection)

投影题先消元、再联立，两步分开写；合并成一步时最容易把柱面当成曲线交出去。

## 课程约定

* 坐标面统一写成 $Oxy$、$Oxz$、$Oyz$，投影柱面与投影曲线都以这三个面命名。
* 求投影固定两步：先从方程组消元得投影柱面，再与相应坐标面方程联立得投影曲线。两步分别写出。
* 参数方程用 $t$ 作参数；螺旋线用转角 $\theta$ 作参数，$a$ 是圆柱半径，$b$ 控制上升的快慢。

## 重点

* 一般方程把曲线看成两曲面的交线，参数方程把曲线看成点的运动轨迹；同一曲线两种写法都成立。
* 投影柱面是空间中的柱面，投影曲线是坐标面上的平面曲线，两者的方程只差一个坐标面方程。
* 截痕法用来判断曲线的形状：用 $z=z_0$ 去截，看交点存在范围与变化，再结合投影确认曲线类型。

## 易错点

* 消元只得到必要条件：$H(x,y)=0$ 上的点不一定在曲线上，必要时把结果代回原方程检验。
* 不要把投影柱面当成投影曲线；只写 $H(x,y)=0$，答案还停在三维空间里。
* 消去 $x$、$y$、$z$ 分别对应 $Oyz$、$Oxz$、$Oxy$ 面，容易记错方向。
* 螺旋线参数方程中的 $b$ 不是螺距；转一周 $\theta$ 增加 $2\pi$，上升高度是 $2\pi\vert b\vert$。
* 一般方程与参数方程都不唯一，同一曲线可以写出多组方程，不能凭写法不同判断是两条曲线。

## 复习要点

做投影题时按“消元、联立、检验”三步走，先把投影柱面写出来，再补坐标面方程。判断曲线形状时先用截痕法看有没有闭合、在哪个方向被拉长，再用投影核对坐标面上的轮廓；平面斜截圆柱得到的椭圆就是这样确认的，它的投影是圆，但曲线本身不是圆。