# 9.1多元函数的基本概念

## 阅读入口

* [平面点集与邻域](/knowledge/maths/multivariable-calculus/point-sets/)
* [多元函数](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-functions/)
* [多元函数的极限](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-limit/)
* [多元函数的连续性](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-continuity/)

## 学习安排

教材把平面点集放在最前面作为预备：先有邻域、内点、聚点这套语言，才能写出去心邻域上的二重极限定义。这一章把研究对象从一元函数扩展到多元函数，原来的极限与连续概念都要在平面上的点集里重新表述。阅读顺序是平面点集、n维空间、多元函数、二重极限、连续性，前一步的概念会直接出现在后一步的定义里。

n维空间一节在教材中带 \* 号，属于选学内容；本课程只在 $\mathbb R^2$ 上展开二重极限与连续性。

## 平面点集

多元函数的自变量是平面上的点，定义域和极限都要在平面点集上讨论。本页用 $P(x,y)$ 表示平面上的点，两点之间的距离取欧氏距离

$$
d(P,P_0)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.
$$

### 邻域与去心邻域

设 $P_0(x_0,y_0)$ 是平面上一点，$\delta>0$。满足

$$
d(P,P_0)<\delta
$$

的点 $P$ 的全体称为 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(P_0,\delta)$。几何上它是 $P_0$ 为圆心、$\delta$ 为半径的圆盘内部，不含圆周。

在邻域中去掉中心点，得到的集合

$$
0<d(P,P_0)<\delta
$$

称为 $P_0$ 的**去心邻域**，记作 $\mathring U(P_0,\delta)$。

### 点与点集的关系

设 $E$ 是平面点集，$P$ 是平面上一点。

* **内点**：存在 $P$ 的某个邻域 $U(P)$，使 $U(P)\subset E$。
* **外点**：存在 $P$ 的某个邻域 $U(P)$，使 $U(P)\cap E=\varnothing$。
* **边界点**：$P$ 的任何邻域内都既有属于 $E$ 的点，又有不属于 $E$ 的点。
* **边界**：$E$ 的全部边界点构成的集合，记作 $\partial E$。
* **聚点**：对任意 $\delta>0$，去心邻域 $\mathring U(P,\delta)$ 内总含有 $E$ 中的点。

**聚点可以不属于集合**

设

$$
E=\{(x,y):0<x^2+y^2<1\}.
$$

原点 $O$ 不属于 $E$，但对任意 $\delta>0$，去心邻域 $\mathring U(O,\delta)$ 都含有 $E$ 中的点，所以 $O$ 是 $E$ 的聚点。$E$ 中的每一点也都是 $E$ 的聚点。

> [!NOTE]
> 聚点本身可以属于 $E$，也可以不属于 $E$。判断时只看去心邻域里有没有 $E$ 的点，与 $P$ 是否在 $E$ 中无关。

### 点集的分类

* **开集**：$E$ 中的点全是内点。
* **闭集**：$E$ 的补集是开集；等价地，$E$ 包含它的全部聚点。
* **连通集**：$E$ 不能分成两个非空、互不相交且在 $E$ 的相对拓扑中都开集的部分。对开集，连通等价于任意两点可用完全属于该集合的折线连接。
* **区域（开区域）**：连通的开集。
* **闭区域**：开区域 $D$ 与它的边界之并，记作 $\bar D=D\cup\partial D$。
* **有界集**：存在以原点为圆心的圆盘，能把 $E$ 整个包含在内。
* **无界集**：不是有界集的点集。

[来源：平面点集与邻域](/knowledge/maths/multivariable-calculus/point-sets/#definition)

点集的语言准备好之后，一元极限的 $\varepsilon$-$\delta$ 说法才能搬到平面上，只是距离换成 $d(P,P_0)$。

## 多元函数

设 $D$ 是 $\mathbb R^2$ 中的一个点集。若对 $D$ 中每一点 $P(x,y)$，按某个对应规则 $f$ 都有唯一的实数 $z$ 与之对应，则称 $z$ 是自变量 $x,y$ 的**二元函数**，记作

$$
z=f(x,y),\qquad (x,y)\in D.
$$

其中 $x,y$ 是自变量，$z$ 是因变量，$D$ 是定义域，因变量的取值集合

$$
f(D)=\{f(x,y):(x,y)\in D\}
$$

是值域。自变量有 $n$ 个时，$u=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 称为 **$n$ 元函数**。

若函数没有特别指明定义域，则定义域取使算式有意义的自变量全体，称为**自然定义域**。求自然定义域就是解一组不等式：分母不为零、偶次根号下非负、对数的真数为正，等等。

### 图形

二元函数 $z=f(x,y)$ 的图形是空间点集

$$
\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ z=f(x,y)\},
$$

通常是一张曲面。

[来源：多元函数](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-functions/#definition)

## 二重极限

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域内有定义。若对任意给定的 $\epsilon>0$，总存在 $\delta>0$，使得当 $P\in\mathring U(P_0,\delta)$ 时恒有

$$
|f(x,y)-A|<\epsilon,
$$

则称常数 $A$ 为 $f(x,y)$ 当 $P\to P_0$ 时的极限，也称**二重极限**，记作

$$
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A,
$$

也写作 $\lim_{P\to P_0}f(P)=A$。

定义要求 $P$ 以**任何方式**趋近 $P_0$ 时函数值都趋于同一个 $A$。平面上趋近一点的方式有无穷多种：沿直线、沿抛物线、绕着点转圈逼近，都算。因此只要找到两条路径给出不同的极限值，就能断定二重极限不存在。

1. **选一条路径**

   令 $y=kx$ 或 $y=kx^2$，代入 $f$，把二元极限化成一元极限。

2. **比较不同路径的结果**

   若结果随 $k$ 变化，或沿某条路径极限不存在，则二重极限不存在。

3. **确认结论的适用范围**

   各路径结果一致只说明暂时没有矛盾，仍需另行证明极限存在。

[来源：多元函数的极限](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-limit/#definition)

极限之后紧接着是连续，两者的定义只差一个等号。

## 连续性

设 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。若

$$
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0),
$$

则称 $f$ 在 $P_0$ 处**连续**。这个等式同时要求：$f(P_0)$ 有定义、二重极限存在、极限值等于函数值。

若 $f$ 在包含点集 $D$ 的开集上有定义，并在 $D$ 中每一点连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续。

[来源：多元函数的连续性](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-continuity/#definition)

到这里，一元的极限与连续已在平面上重新表述完；下一节的偏导数从这里出发。

## 课程约定

* 二重极限定义中的 $\delta$ 邻域是去心邻域，写成 $0<d(P,P_0)<\delta$，中心点的函数值不参与极限。
* 教材用 $P\to P_0$ 与 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 两种写法表示同一个极限。
* 有界闭区域上连续函数的性质（最值、有界）教材直接引用结论，没有展开证明。

## 重点与易错点

* 二重极限的难点在“任意方式”：平面上的趋近路径有无穷多种，而一元函数只有左右两个方向，不能把一元的判定直接搬过来。
* 否定二重极限只需两条路径给出不同的值；路径一致不能反过来证明极限存在。
* 聚点与内点不是一回事：聚点可以属于点集，也可以不属于。
* 多元初等函数在定义区域内连续，求二重极限前先确认极限点是否落在定义区域内，再决定能否直接代入。

## 复习要点

复习时把一元函数的可导与连续关系拿来对照：一元函数可导必连续，而多元函数中“偏导数存在”连连续性都推不出。这个差别来自二重极限要求沿任意路径趋近，不能只沿坐标轴方向检查。