# 9.2偏导数

## 阅读入口

* [偏导数](/knowledge/maths/multivariable-calculus/partial-derivative/)
* [导数的定义与几何意义](/knowledge/maths/derivatives/derivative/)：固定其余变量后，偏导数就是一元导数。

## 学习安排

本节先给出两个差商极限的定义，再集中列出记号，然后说明“其余变量看作常数”的求法，最后用二阶偏导数和混合偏导数定理收尾。后面的全微分和复合函数求导继续沿用这套写法。

## 定义与记号

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。固定 $y=y_0$，让 $x$ 在 $x_0$ 处变化。若极限

$$
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}
$$

存在，则称它为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处**对 $x$ 的偏导数**。

同样，固定 $x=x_0$，若极限

$$
\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}
$$

存在，则称它为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处**对 $y$ 的偏导数**。

两个极限都存在时，$f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的偏导数存在。若 $f$ 在区域 $D$（连通的开集）内每一点都有对 $x$ 的偏导数，则这个对应关系构成 $D$ 上的函数，称为 $f$ 对 $x$ 的**偏导函数**，也简称偏导数。

### 记号

对 $x$ 的偏导数有以下等价写法：

$$
f_x(x_0,y_0),\qquad
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad
z_x.
$$

对 $y$ 的偏导数把 $x$ 换成 $y$：

$$
f_y(x_0,y_0),\qquad
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad
\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)},\qquad
z_y.
$$

写偏导函数时省略下标中的点，记作 $f_x$、$\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 或 $z_x$。

> [!NOTE]
> 偏导数符号 $\partial$ 与一元微分符号 $\mathrm d$ 不同，它专门表示多元函数中对单个变量的变化率。$\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 是一个整体记号，不能拆成两个独立的量。

[来源：偏导数](/knowledge/maths/multivariable-calculus/partial-derivative/#definition)

定义了偏导数，接下来要能算；下一段把计算归结为一元求导。

## 一元化求法

求 $z=f(x,y)$ 对某个变量的偏导数时，把其余变量看作常数，按一元函数的求导公式计算。

* 对 $x$ 求偏导：把 $y$ 视为常数。
* 对 $y$ 求偏导：把 $x$ 视为常数。

1. **确认对哪个变量求偏导**

   先写明“对 $x$”，后面每一步都只对这个变量用求导公式。

2. **固定其余变量**

   把另一个变量当作常数，逐项套一元求导公式。

3. **代点或整理**

   求偏导函数时整理成 $x,y$ 的表达式；求某点的偏导数时代入该点。

[来源：偏导数](/knowledge/maths/multivariable-calculus/partial-derivative/#technique)

会求一阶偏导之后，二阶偏导只是再做一次，求导顺序的问题到下一段才出现。

## 高阶偏导数

若 $f_x$ 与 $f_y$ 仍是 $x,y$ 的函数，则它们对 $x$、$y$ 的偏导数称为 $f$ 的**二阶偏导数**。二元函数共有四个二阶偏导数：

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right),
\qquad
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right),
$$

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right),
\qquad
\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right).
$$

$f_{xx}$ 与 $f_{yy}$ 称为**纯偏导数**，$f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 称为**混合偏导数**。写法上 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ 表示先对 $x$ 求偏导、再对 $y$ 求偏导，与 $f_{xy}$ 的顺序一致。

[来源：偏导数](/knowledge/maths/multivariable-calculus/partial-derivative/#higher-order)

高阶偏导的记号最容易写乱；课程约定把 $f_{xy}$ 与 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ 的顺序固定下来。

## 课程约定

* $\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}$、$f_x(x_0,y_0)$ 与 $z_x$ 是同义记号。
* 二阶混合偏导数 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f_{xy}$ 表示先对 $x$ 后对 $y$ 求偏导；写 $f_{yx}$ 时顺序相反。

## 重点

* 一元化是求偏导的主线：固定其余变量，按一元公式逐项求导。
* 几何意义：$f_x(x_0,y_0)$ 是曲面被平面 $y=y_0$ 截出的曲线在 $P_0$ 处的切线斜率。
* 混合偏导数相等要以两个混合偏导数在该点连续为前提；初等函数在定义区域内满足条件，计算时可以按方便的顺序求导。

## 易错点

* 偏导数存在推不出连续，不能照搬一元的“可导必连续”。
* 对 $x$ 求偏导时 $y$ 是常数，但含 $y$ 的项不一定为零，例如 $\dfrac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y$。
* 交换混合偏导数的求导顺序前，先确认两个混合偏导数在该点连续。