# 9.4多元复合函数的求导法则

## 阅读入口

* [多元复合函数的求导法则](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-chain-rule/)
* [全微分](/knowledge/maths/multivariable-calculus/total-differential/)（形式不变性依赖全微分的定义）
* [复合函数的链式法则](/knowledge/maths/derivatives/chain-rule/)（一元情形，用来对照）

## 学习安排

教材按中间变量与自变量的数量把复合关系分成三种：一元函数与多元函数复合（得到全导数）、多元函数与多元函数复合、自变量同时作为中间变量和显式自变量的混合复合。三种情形的结构相同：从 $z$ 出发沿每个中间变量分支，路径上的偏导数相乘，同一自变量的各条路径相加。

先练第一种，把 $t$ 看成唯一的自变量；第二种只是对 $x$ 或 $y$ 分别做一次第一种；第三种多出的显式项放在最后。全微分形式不变性安排在最后，它把链式法则的结果写成与自变量身份无关的形式，下一节隐函数求导会直接使用。

## 三种复合结构

### 一元函数与多元函数复合

设 $u=u(t)$、$v=v(t)$ 都在点 $t$ 可导，$z=f(u,v)$ 在对应点 $(u(t),v(t))$ 处可微，则复合函数 $z=f[u(t),v(t)]$ 在点 $t$ 可导，且

$$
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}
=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.
$$

这里 $z$ 最终只依赖一个自变量 $t$，所以左边用全导数记号 $\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$，而不是偏导数。

### 多元函数与多元函数复合

设 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 都在点 $(x,y)$ 处具有对 $x$、$y$ 的偏导数，$z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处可微，则复合函数 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处对 $x$、$y$ 的偏导数存在，且

$$
\frac{\partial z}{\partial x}
=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial y}
=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
$$

从 $z$ 到 $x$ 有两条路径，即 $z\to u\to x$ 与 $z\to v\to x$，两条路径的乘积相加就是第一式；对 $y$ 同理。

### 混合复合

若 $z=f(u,v,x)$，其中 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$，则 $x$ 既是中间变量的自变量，又直接出现在 $f$ 的自变量中。此时

$$
\frac{\partial z}{\partial x}
=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}
+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}
+\frac{\partial f}{\partial x}.
$$

最后一项 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 是把 $u$、$v$ 固定，只对 $f$ 的显式自变量 $x$ 求导的结果；前两项来自 $x$ 通过 $u$、$v$ 产生的间接影响。对 $y$ 的偏导数没有显式项，仍按两条路径相加。

> [!WARNING]
> 同一个 $x$ 在 $z=f(u,v,x)$ 里出现两次：一次是 $f$ 的显式自变量，一次通过 $u$、$v$ 间接出现。本页用 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 记显式项，用 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 记复合后的总偏导数。其他资料可能把 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 定义为总偏导数，阅读时要先确认符号所指。

[来源：多元复合函数的求导法则](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-chain-rule/#theorem)

三种复合结构的公式到这里已经齐了，最后一段把它们的结论统一成与自变量无关的写法。

## 全微分形式不变性

### 全导数

当复合函数的最终自变量只有一个时，因变量对这个自变量的导数称为**全导数**。上面的第一种情形给出的就是全导数：

$$
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}
=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}
+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.
$$

它表示 $t$ 变化时，通过所有中间路径传到 $z$ 的总变化率。偏导数只让一个自变量变化，全导数则允许所有中间变量随 $t$ 一起变化。

> [!NOTE]
> 全导数与全微分是两个概念。全导数是一个数，表示变化率；全微分是增量的线性主部，见[全微分](/knowledge/maths/multivariable-calculus/total-differential/)。

### 全微分形式不变性

设 $z=f(u,v)$ 可微。

1. 若 $u$、$v$ 是独立自变量，则
   $$
   \mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v .
   $$
2. 若 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 是可微的中间变量，则把 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 按全微分展开后，仍有
   $$
   \mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v .
   $$

第二种情形的验证：由链式法则，

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=f_u u_x+f_v v_x,\qquad
\frac{\partial z}{\partial y}=f_u u_y+f_v v_y ,
$$

于是

$$
\mathrm{d}z
=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y
=f_u(u_x\mathrm{d}x+u_y\mathrm{d}y)+f_v(v_x\mathrm{d}x+v_y\mathrm{d}y)
=f_u\,\mathrm{d}u+f_v\,\mathrm{d}v .
$$

所以无论 $u$、$v$ 是自变量还是中间变量，$z=f(u,v)$ 的全微分都写成同一个形式，这就是**全微分形式不变性**。第二种情形中的 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 是中间变量的微分，不再是自变量的增量。

> [!TIP]
> 形式不变性把换元与求微分分开：先按 $u$、$v$ 写出 $\mathrm{d}z$，再把 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 展开成 $\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 的组合。求隐函数的导数和高阶全微分时常用这种写法，但前提仍是 $f$ 可微。

[来源：多元复合函数的求导法则](/knowledge/maths/multivariable-calculus/multivariable-chain-rule/#properties)

形式不变性之后紧接下一节的隐函数求导，那里用的正是这个写法。

## 课程约定

* 最终自变量只有一个时，导数用 $\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$，称为全导数；有多个自变量时用 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 等偏导数记号。
* 混合复合中，教材用 $\dfrac{\partial f}{\partial u}$、$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 表示对 $f$ 的某个自变量求偏导，用 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 表示复合后的总偏导数。两类符号不能混用。
* 中间变量的个数不限于两个。多于两个时，公式按“每个中间变量一项”继续相加。

## 易错点

* 混合复合漏掉显式项 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$，或者把这一项误写成对 $y$ 的偏导数。
* 把全导数写成 $\dfrac{\partial z}{\partial t}$；$z$ 只通过 $t$ 变化时应该用 $\mathrm{d}$。
* 变量关系图上有几条从 $z$ 到某个自变量的路径，公式里就要有几项。只画图不数路径，容易漏掉较隐蔽的那条。
* 全微分形式不变性以 $f$ 可微为前提，而且说的是 $z=f(u,v)$ 的写法不变，不是 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 仍是自变量增量。