# 9.5隐函数的求导公式

## 阅读入口

* [隐函数的求导公式](/knowledge/maths/multivariable-calculus/implicit-function-theorem/)
* [隐函数求导](/knowledge/maths/derivatives/implicit-differentiation/)（一元情形的直接求导写法）
* [全微分](/knowledge/maths/multivariable-calculus/total-differential/)（公式由全微分比较系数得到）
* [偏导数](/knowledge/maths/multivariable-calculus/partial-derivative/)（$F_x$、$F_y$、$F_z$ 的记号）

## 学习安排

本节分成三个定理：一个方程确定一元函数、一个方程确定二元函数、方程组确定两个二元函数。前两个定理检查一个偏导数，第三个把条件换成雅可比行列式，求导也从解一个方程变成解一个线性方程组。第三个定理退化后给出前两个定理。

复习时先按“未知函数有几个、自变量有几个”给题目分类，再对号入座，不要先背三个公式。考试中通常不必逐条验证定理条件，但要说明在哪个点附近、对哪个变量求偏导。

## 隐函数的含义

若方程 $F(x,y)=0$ 在选定点 $(x_0,y_0)$ 附近确定一个函数 $y=f(x)$，使得 $f(x_0)=y_0$，且邻域内恒有 $F(x,f(x))=0$，就称这个函数为由该方程确定的**局部隐函数**。定义描述函数与方程的关系，不要求先把 $y$ 显式解出来。

一个方程可能有多个分支，因此必须说明研究的是哪个点附近的分支。类似地，$F(x,y,z)=0$ 可以局部确定 $z=f(x,y)$；一组方程也可以同时确定多个未知函数。下方的定理给出局部存在、唯一及可微的一组充分条件。

[来源：隐函数的求导公式](/knowledge/maths/multivariable-calculus/implicit-function-theorem/#definition)

## 一个方程确定一元函数

设方程 $F(x,y)=0$ 满足：

1. 函数 $F$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内具有连续偏导数；
2. $F(x_0,y_0)=0$；
3. $F_y(x_0,y_0)\ne 0$。

则方程 $F(x,y)=0$ 在 $x_0$ 的某个邻域内唯一确定一个具有连续导数的函数 $y=f(x)$，它在 $x_0$ 处取值 $y_0$，且

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)} .
$$

本页用 $F_x$、$F_y$、$F_z$ 表示 $F$ 对相应变量的偏导数。求某一点处的导数时，公式右端取该点的偏导数值。这个结论称为**隐函数存在定理**。

三个条件各自排除一种失败：连续偏导数让 $F$ 可以在 $P_0$ 附近线性化；$F(x_0,y_0)=0$ 保证 $P_0$ 确实在曲线上；$F_y(x_0,y_0)\ne 0$ 保证方程能对 $y$ 解出，局部曲线的切线不竖直。第三条一旦不成立，公式的分母为零，结论本身也可能不再成立。

[来源：隐函数的求导公式](/knowledge/maths/multivariable-calculus/implicit-function-theorem/#one-variable)

一个自变量的情形看懂之后，把自变量增加到两个，条件与公式的分母跟着换。

## 一个方程确定二元函数

设方程 $F(x,y,z)=0$ 满足：

1. 函数 $F$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某个邻域内具有连续偏导数；
2. $F(x_0,y_0,z_0)=0$；
3. $F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0$。

则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内唯一确定一个具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$，它在 $(x_0,y_0)$ 处取值 $z_0$，且

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},
\qquad
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.
$$

与一元情形相比，$x$ 与 $y$ 都是自变量，因此要分别固定其中一个、对另一个求偏导；分母始终是对**被解出的变量** $z$ 的偏导数。

[来源：隐函数的求导公式](/knowledge/maths/multivariable-calculus/implicit-function-theorem/#two-variables)

方程增加到两个、未知函数也增加到两个时，单个偏导数不够用，要换成行列式。

## 方程组情形

设方程组

$$
\begin{cases}
F(x,y,u,v)=0,\\
G(x,y,u,v)=0
\end{cases}
$$

满足：

1. $F$、$G$ 在点 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某个邻域内对各变量具有连续偏导数；
2. 在 $P_0$ 处两式同时成立；
3. 偏导数组成的雅可比行列式在 $P_0$ 处不为零，即

$$
J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}
=\begin{vmatrix}
F_u & F_v\\
G_u & G_v
\end{vmatrix}\ne 0 .
$$

则方程组在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$，它们在 $(x_0,y_0)$ 处取值 $u_0$、$v_0$。

求 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial v}{\partial x}$ 时，固定 $y$，把 $u$、$v$ 看成 $x$ 的函数，对两个方程分别关于 $x$ 求偏导：

$$
\begin{cases}
F_x+F_u\dfrac{\partial u}{\partial x}+F_v\dfrac{\partial v}{\partial x}=0,\\[6pt]
G_x+G_u\dfrac{\partial u}{\partial x}+G_v\dfrac{\partial v}{\partial x}=0 .
\end{cases}
$$

这是关于 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial v}{\partial x}$ 的线性方程组，系数行列式正是 $J$。由 $J\ne 0$ 可用克莱姆法则解出

$$
\frac{\partial u}{\partial x}
=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}
=-\frac{1}{J}
\begin{vmatrix}
F_x & F_v\\
G_x & G_v
\end{vmatrix},
$$

$$
\frac{\partial v}{\partial x}
=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}
=-\frac{1}{J}
\begin{vmatrix}
F_u & F_x\\
G_u & G_x
\end{vmatrix}.
$$

把 $x$ 换成 $y$，就得到对 $y$ 的偏导数：

$$
\frac{\partial u}{\partial y}
=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)},
\qquad
\frac{\partial v}{\partial y}
=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}.
$$

记号 $\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}$ 表示把 $J$ 中对应变量所在的那一列换成 $(F_x,G_x)$，列的顺序与分母一致。以 $u_x$ 为例：分母是 $\partial(u,v)$，$u$ 所在的第一列被替换，得到 $\partial(x,v)$；$v_x$ 则替换第二列。

[来源：隐函数的求导公式](/knowledge/maths/multivariable-calculus/implicit-function-theorem/#system)

三个定理到这里就齐了；课程约定按定理编号把它们重新排一遍。

## 课程约定

* 定理编号沿用教材：定理1、2、3分别对应一个方程一个自变量、一个方程两个自变量、方程组。
* 导数写成 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，偏导数写成 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$；$y$ 只依赖 $x$ 时使用全导数记号。
* 方程组情形固定一个自变量（先 $x$ 后 $y$），得到的是关于 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial v}{\partial x}$ 的线性方程组，系数行列式就是雅可比行列式。
* 公式中的偏导数一律在给定点处取值，最后要把坐标代进去。

## 易错点

* 不检查 $F_y\ne0$ 或 $J\ne0$ 就套公式。条件决定能不能把那个变量解出来，也决定分母是否为零。
* 方程组情形把 $\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}$ 的列写反。分子行列式按 $J$ 的列顺序，把被求偏导的变量所在列换成对 $x$ 的偏导列。
* 漏掉 $u_x$、$v_x$ 公式中的负号，或把 $-\dfrac{1}{J}$ 写成 $J$。两个公式都带 $-\dfrac{1}{J}$。
* 求完偏导数没有回代，答案里还留着 $x,y,z$。
* 把存在定理当成能求出显式表达式。定理只保证局部存在唯一，公式给出的是导数，不是函数本身。

## 复习要点

三种情形可以压成一句话：看要解出哪些变量，算它们对 $F,G$ 的雅可比；行列式非零就能局部解出，导数用克莱姆法则再加负号。一元情形雅可比退化为 $F_y$，二元情形退化为 $F_z$。

做方程组题时先算 $J$，再写两个分子行列式，最后统一乘 $-\dfrac{1}{J}$。符号错误多半出在最后一步。