# 9.6多元函数微分学的几何应用

## 阅读入口

* [向量值函数与导向量](/knowledge/maths/multivariable-calculus/differential-geometry-applications/)
* [空间曲线的切线与法平面](/knowledge/maths/multivariable-calculus/space-curve-tangent/)
* [曲面的切平面与法线](/knowledge/maths/multivariable-calculus/surface-tangent-plane/)
* [偏导数](/knowledge/maths/multivariable-calculus/partial-derivative/)（法向量的三个分量就是偏导数）
* [全微分](/knowledge/maths/multivariable-calculus/total-differential/)（切平面是一次近似的几何版本）
* [隐函数的求导公式](/knowledge/maths/multivariable-calculus/implicit-function-theorem/)（交线式曲线靠隐函数定理参数化）

## 学习安排

教材把这一节放在全微分之后、方向导数与梯度之前，顺序是有意的：本节只用偏导数拼出向量，到9.7才正式引入梯度。所以这里出现的“法向量”都可以直接读成 $(F_x,F_y,F_z)$。

内容分三块：一元向量值函数、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。第一块是工具，为参数曲线准备 $\mathbf r'(t)$；后两块是同一件事的两面，曲线看切向量，曲面看法向量。复习时先确定对象是曲线还是曲面，再决定找切向量还是法向量。

## 向量值函数与导向量

设 $x(t)$、$y(t)$、$z(t)$ 是定义在区间 $I$ 上的实函数，则

$$
\mathbf r(t)
=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k
=(x(t),y(t),z(t))
$$

称为**一元向量值函数**。它的自变量是实数 $t$，函数值是三维向量。随着 $t$ 变化，向量 $\mathbf r(t)$ 的终点描出空间中的一条曲线，$\mathbf r(t)$ 就是从原点指向该点的位置向量。

向量值函数的极限与连续按分量定义：

* 若三个分量函数的极限都存在，则
  $$
  \lim_{t\to t_0}\mathbf r(t)
  =\left(\lim_{t\to t_0}x(t),\ \lim_{t\to t_0}y(t),\ \lim_{t\to t_0}z(t)\right);
  $$
* 若三个分量函数都在 $t_0$ 处连续，则 $\mathbf r(t)$ 在 $t_0$ 处连续。

若各分量均可导，$\mathbf r(t)$ 的导数（也称**导向量**）定义为

$$
\mathbf r'(t)
=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf r(t+\Delta t)-\mathbf r(t)}{\Delta t}
=(x'(t),y'(t),z'(t)).
$$

当 $\mathbf r'(t_0)\ne\mathbf 0$ 时，它是曲线在对应点处的**切向量**，方向指向 $t$ 增大的方向。若 $\mathbf r'(t_0)=\mathbf 0$，曲线在该点仍可能有切线，但不能直接把导向量当作切向量。

[来源：向量值函数与导向量](/knowledge/maths/multivariable-calculus/differential-geometry-applications/#definition)

导向量准备好之后，曲线的切线就是它；下一段把这个向量放进直线方程。

## 空间曲线的切线与法平面

过曲线上点 $P_0$ 且方向为切向量 $\mathbf T$ 的直线，称为曲线在 $P_0$ 处的**切线**；过 $P_0$ 且垂直于切线的平面，称为**法平面**。法平面的法向量就是 $\mathbf T$，所以求出切向量后，两个方程都能立刻写出。

### 参数方程情形

若曲线由

$$
\begin{cases}
x=x(t),\\
y=y(t),\\
z=z(t)
\end{cases}
$$

给出，点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 对应参数 $t_0$，则切向量为

$$
\mathbf T=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)).
$$

切线方程为

$$
\frac{x-x_0}{x'(t_0)}
=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}
=\frac{z-z_0}{z'(t_0)},
$$

法平面方程为

$$
x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0 .
$$

> [!NOTE]
> 方向数中允许出现 $0$。例如 $y'(t_0)=0$ 时，比例式应理解为 $y=y_0$，其余两项照常给出两个方程；不要把它写成除以零的算式。

### 一般方程情形

若曲线由两个曲面的交线给出：

$$
\begin{cases}
F(x,y,z)=0,\\
G(x,y,z)=0,
\end{cases}
$$

且 $F$、$G$ 在 $P_0$ 附近具有连续偏导数，则曲线在 $P_0$ 处的切向量同时垂直于两个曲面的法向量

$$
\mathbf n_F=(F_x,F_y,F_z)|_{P_0},
\qquad
\mathbf n_G=(G_x,G_y,G_z)|_{P_0}.
$$

因此可取

$$
\mathbf T=\mathbf n_F\times\mathbf n_G
=\begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\
F_x & F_y & F_z\\
G_x & G_y & G_z
\end{vmatrix}_{P_0}.
$$

设 $\mathbf T=(T_x,T_y,T_z)$，把参数方程情形中切线方程与法平面方程里的 $x'(t_0)$、$y'(t_0)$、$z'(t_0)$ 依次换成 $T_x$、$T_y$、$T_z$，就得到一般情形的两个方程。

**证明**

设曲线在 $P_0$ 附近可以参数化为 $(x(t),y(t),z(t))$，且 $(x(t_0),y(t_0),z(t_0))=P_0$。因为曲线落在曲面 $F=0$ 上，对 $t$ 恒有

$$
F(x(t),y(t),z(t))=0 .
$$

对 $t$ 求导并令 $t=t_0$，得

$$
F_x x'(t_0)+F_y y'(t_0)+F_z z'(t_0)=0,
$$

即 $\mathbf n_F\cdot\mathbf T=0$。同理 $\mathbf n_G\cdot\mathbf T=0$，所以 $\mathbf T$ 与两个法向量都垂直，方向由叉积确定。

> [!WARNING]
> 当 $\mathbf n_F\times\mathbf n_G=\mathbf 0$（两个曲面在该点相切）时，交线在该点不一定光滑，不能取这个叉积作切向量。此时要回到曲线本身另找方向。

[来源：空间曲线的切线与法平面](/knowledge/maths/multivariable-calculus/space-curve-tangent/#definition)

曲线用切向量，曲面换用法向量，两块内容是对称的。

## 曲面的切平面与法线

过曲面上点 $P_0$ 且在该点与曲面相切的平面，称为**切平面**；过 $P_0$ 且垂直于切平面的直线，称为**法线**。切平面的法向量称为曲面在 $P_0$ 处的**法向量**。

### 隐式曲面

设曲面由 $F(x,y,z)=0$ 给出，$F$ 在 $P_0$ 附近具有连续偏导数，且

$$
\nabla F(P_0)=(F_x(P_0),F_y(P_0),F_z(P_0))\ne\mathbf 0 .
$$

则曲面在 $P_0$ 处的法向量为

$$
\mathbf n=(F_x,F_y,F_z)|_{P_0},
$$

切平面方程为

$$
F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0,
$$

法线方程为

$$
\frac{x-x_0}{F_x(P_0)}
=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}
=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}.
$$

这里的 $\nabla F$ 就是 $F$ 的梯度，由三个偏导数组成。当 $\nabla F(P_0)=\mathbf 0$ 时，上述结论需要有额外的奇点分析，$P_0$ 可能是曲面上的奇点。

### 显式曲面

设曲面由 $z=f(x,y)$ 给出。令

$$
F(x,y,z)=f(x,y)-z,
$$

就把显式曲面写成了隐式方程 $F=0$。此时

$$
F_x=f_x,\qquad F_y=f_y,\qquad F_z=-1,
$$

所以法向量为

$$
\mathbf n=(f_x,f_y,-1)|_{P_0}.
$$

切平面方程为

$$
z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0),
$$

法线方程为

$$
\frac{x-x_0}{f_x}
=\frac{y-y_0}{f_y}
=\frac{z-z_0}{-1}.
$$

> [!NOTE]
> 切平面方程的右端正是全微分 $f_x\,\Delta x+f_y\,\Delta y$。把 $x-x_0$、$y-y_0$ 换成自变量的增量，切平面就是函数的一次近似，与[全微分](/knowledge/maths/multivariable-calculus/total-differential/)作为线性主部的含义一致。

[来源：曲面的切平面与法线](/knowledge/maths/multivariable-calculus/surface-tangent-plane/#definition)

两类对象的公式都齐了；课程约定把切向量与法向量的记号分开。

## 课程约定

* 切向量记 $\mathbf T$，法向量记 $\mathbf n$。曲线的法平面以 $\mathbf T$ 为法向量，曲面的法线以 $\mathbf n$ 为方向。
* 参数方程情形直接用 $\mathbf r'(t_0)$；交线式情形用两个曲面法向量的叉积。叉积方向可以差一个符号，代入方程前任取一个即可。
* 显式曲面 $z=f(x,y)$ 一律先改写成 $F=f(x,y)-z=0$，再套隐式曲面的公式，避免记混 $f_x,f_y$ 前的符号。
* 方向数中出现 $0$ 时，切线方程仍写成比例式，约定对应分子为 $0$，即该坐标为常数。

## 易错点

* 把显式曲面的法向量写成 $(f_x,f_y,1)$，正确结果是 $(f_x,f_y,-1)$。
* 交线式曲线忘记取叉积，把两个法向量直接相加，或把分量按 $(F_x,G_x,\dots)$ 拼错。
* 切线与法平面的方程代错点：$x_0,y_0,z_0$ 必须是曲线上的点，通常先由参数值算出。
* 把曲线的法平面写成以 $\mathbf r'(t_0)$ 为方向的直线方程，或者把曲面的法线写成平面方程。
* 遇到 $\mathbf r'(t_0)=\mathbf 0$ 仍直接拿它当切向量。

## 复习要点

所有题目都能归成“过点 + 方向”：曲线先求切向量，切线用对称式、法平面用点法式；曲面先求法向量，法线用对称式、切平面用点法式。两类对象只是交换了向量扮演的角色。

判断该用哪套公式时，先看题目给的是参数方程、交线方程还是曲面方程；给交线就一定要先算两个法向量再叉积。