# 1.1随机事件

## 阅读入口

* [随机事件](/knowledge/maths/probability/random-events/)

## 样本空间与事件

随机试验是在给定条件下进行、结果不能预先确定的试验。每次试验的一个可能结果称为**样本点**，记作 $\omega$；所有可能结果构成的集合称为**样本空间**，记作 $\Omega$。建模时，样本点应互不混淆，并覆盖所关心的所有可能结果。

样本空间依赖于记录的结果：掷一枚骰子，若记录点数，可以取 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$；若只记录奇偶，则可以取 $\Omega=\{\text{奇},\text{偶}\}$。样本空间本身不决定各结果是否等可能。

[来源：样本空间](/knowledge/maths/probability/sample-space/#definition)

设随机试验的[样本空间](/knowledge/maths/probability/sample-space/)为 $\Omega$。随机事件是样本空间的子集。设 $A\subseteq\Omega$，若试验结果 $\omega\in A$，就说事件 $A$ 发生。$\Omega$ 本身称为**必然事件**，空集 $\varnothing$ 称为**不可能事件**。

[来源：随机事件](/knowledge/maths/probability/random-events/#sample-space)

教材把三条试验要求放在最前，是为了先固定 $\Omega$ 再谈事件；事件是 $\Omega$ 的子集，换一个样本空间就等于换了一道题。

## 事件的关系与运算

### 事件的关系与运算

设 $A$ 与 $B$ 是同一个试验中的事件。

| 记号                | 名称   | 含义                              |
| :---------------- | :--- | :------------------------------ |
| $A\subseteq B$    | 包含   | $A$ 发生必有 $B$ 发生                 |
| $A=B$             | 相等   | $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$ |
| $A\cup B$         | 和事件  | $A$ 与 $B$ 至少有一个发生               |
| $A\cap B=AB$      | 积事件  | $A$ 与 $B$ 同时发生                  |
| $A-B=A\cap\bar B$ | 差事件  | $A$ 发生而 $B$ 不发生                 |
| $\bar A=\Omega-A$ | 对立事件 | $A$ 不发生                         |

若 $AB=\varnothing$，称 $A$ 与 $B$ **互斥**（或不相容），即两者不能同时发生。若互斥之外还要求 $A\cup B=\Omega$，则称 $A$ 与 $B$ **对立**：两者不能同时发生，且必有一个发生。因此对立一定互斥，互斥未必对立。

对多个事件 $A_1,A_2,\ldots,A_n$，常用以下表示：

* 至少一个发生：$\bigcup_i A_i$；
* 全部发生：$\bigcap_i A_i$；
* 一个都不发生：$\bigcap_i\bar A_i=\overline{\bigcup_iA_i}$；
* 恰有一个发生：$\bigcup_i\left(A_i\cap\bigcap_{j\ne i}\bar A_j\right)$。

### 运算律

事件的交换律、结合律、分配律与集合运算相同。特别常用的是**德摩根律**：

$$
\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B,\qquad
\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B.
$$

多个事件的情形同样成立：并事件的补等于各补事件的交，交事件的补等于各补事件的并。

概率的记号与计算见[概率公理](/knowledge/maths/probability/probability-axioms/)。求“至少一次”的概率，常转化为

$$
P(\text{至少一次})=1-P(\text{一次也没有}).
$$

求“恰好一次”的概率时，要把各互斥情形分别写出再相加，不能直接使用 $A\cup B$。

[来源：随机事件](/knowledge/maths/probability/random-events/#event-operations)

这里只做事件层面的翻译，还没有引入概率；等1.2定义 $P$ 之后，这些运算式才真正进入计算。

## 探索事件运算

选取骰子点数，分别组成事件 $A$ 和 $B$。并集包含至少属于一个事件的点数，交集只包含同时属于两个事件的点数。

交互演示：哪些点数属于并集和交集？。选择骰子的点数，比较两个事件的并集与交集。 请在站点操作演示。

[来源：随机事件](/knowledge/maths/probability/random-events/#exploration)

## 学习安排

先把试验结果组织成样本空间，再讨论事件之间的关系与运算。事件运算与集合运算平行，德摩根律用于在“至少一个”“一个都不发生”之间转换。

建模时先根据记录的结果选择样本空间，再判断各样本点是否等可能。这一步决定后面能否直接用计数方法，也决定“恰有一个发生”这类说法能否准确翻译成事件运算。

## 课程约定

* 事件用大写字母 $A,B$ 表示，样本空间记 $\Omega$，样本点记 $\omega$。
* 积事件简写为 $AB$，与 $A\cap B$ 同义。
* 对立事件记 $\bar A$，与 $\Omega-A$ 同义。

## 易错点

* 互斥只要求 $AB=\varnothing$，不要求 $A\cup B=\Omega$；对立一定互斥，互斥未必对立。
* “恰有一个发生”不等于“至少一个发生”，后者的并事件还包含同时发生的情形。
* 掷两枚可区分的均匀骰子时，有序点数对等可能；点数和可以作为样本点，但不能视为等可能。

## 复习要点

复习时先写出 $\Omega$，再把题目中的“至少一个”“一个都不发生”“恰有一个”逐句翻译成事件运算，最后才代入概率或计数。检查时优先确认有没有把非互斥的情形直接相加。