# 1.2事件的概率

## 阅读入口

* [概率公理](/knowledge/maths/probability/probability-axioms/)

## 概率的公理

设 $\Omega$ 是样本空间。对每个事件 $A\subseteq\Omega$ 赋予一个实数 $P(A)$，称为事件 $A$ 的**概率**。它满足以下三条公理：

1. **非负性**：$P(A)\ge 0$；
2. **规范性**：$P(\Omega)=1$；
3. **可列可加性**：若 $A_1,A_2,\ldots$ 两两互斥，即 $A_iA_j=\varnothing\ (i\ne j)$，则

$$
P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i).
$$

公理只规定这三条，其余性质都由它们推出。

[来源：概率公理](/knowledge/maths/probability/probability-axioms/#axioms)

公理只规定三条，补事件公式、单调性与差事件在本课程里都算推论；答题时若要引用，先说明它由哪条公理推出。

## 加法公式

对任意两个事件 $A$ 与 $B$，

$$
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB).
$$

对三个事件，容斥公式为

$$
\begin{aligned}
P(A\cup B\cup C)
={}&P(A)+P(B)+P(C)\\
&-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).
\end{aligned}
$$

[来源：概率公理](/knowledge/maths/probability/probability-axioms/#addition)

加法公式处理的是并事件，古典概型与几何概型则给出两条直接计算的路：前者靠计数，后者靠度量。

## 古典概型

若样本空间只含有限个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，则称该试验为**古典概型**。此时事件 $A$ 的概率为

$$
P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},
$$

其中 $|A|$ 与 $|\Omega|$ 分别表示 $A$ 与 $\Omega$ 中样本点的个数。

### 计数方法

常用的计数公式为

$$
A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!},\qquad
C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!},\qquad 0!=1.
$$

选择计数方式时先看两点：是否区分顺序，是否允许重复。

| 选取方式    | 计数      |
| :------ | :------ |
| 有顺序、无放回 | $A_n^m$ |
| 无顺序、无放回 | $C_n^m$ |
| 有顺序、可重复 | $n^m$   |

[来源：古典概型](/knowledge/maths/probability/classical-probability/#definition)

## 几何概型

若样本空间是有限长度、面积或体积的区域 $\Omega$，且样本点在 $\Omega$ 中**均匀选取**，则事件 $A$ 的概率为

$$
P(A)=\frac{\text{区域 }A\text{ 的度量}}{\text{区域 }\Omega\text{ 的度量}}.
$$

这里的度量按问题取长度、面积或体积。

这里要求 $\Omega$ 的度量有限且非零，事件区域也必须可以测量。随机选取不自动意味着均匀，建模时要说明均匀的是位置、角度还是其他参数。

[来源：几何概型](/knowledge/maths/probability/geometric-probability/#definition)

## 学习安排

教材先建立概率的三条公理，再由公理推出补事件、单调性与差事件的公式；接着用加法公式处理并事件，最后给出古典概型与几何概型两类可以直接计算的情形。

做题时先判断模型：样本点有限且等可能，用计数；连续均匀选取，用长度、面积或体积的比值；两者都不符合，就回到公理与加法公式。

## 课程约定

* 概率记作 $P(A)$，规范性写作 $P(\Omega)=1$。
* 积事件简写为 $AB$，加法公式中的交事件也按这一记号书写。
* 排列数记 $A_n^m$，组合数记 $C_n^m$；教材约定 $0!=1$。

## 易错点

* 概率为零不意味着不可能事件，概率为一也不意味着必然事件。
* 互斥事件的概率可以直接相加；更一般地，交事件的概率为零时也可以直接相加。其他情形要用加法公式减去交事件的概率。
* 古典概型中分子与分母必须使用同一种计数口径，不能一边按排列、一边按组合。
* 几何概型要先说明“均匀”针对哪个位置、角度或参数，随机选取本身不保证均匀。

## 复习要点

复习时按“公理 → 性质 → 加法公式 → 概型选择”的顺序检查条件。算完概率后回看是否落在 $[0,1]$ 内，并重点核对有没有把非互斥事件直接相加，以及计数时分子分母的口径是否一致。