# 1.3条件概率

## 阅读入口

* [条件概率与乘法公式](/knowledge/maths/probability/conditional-probability/)
* [贝叶斯公式](/knowledge/maths/probability/bayes-theorem/)

## 条件概率

设 $A$ 与 $B$ 是样本空间 $\Omega$ 中的事件，且 $P(B)>0$。在已知 $B$ 发生的条件下，$A$ 发生的**条件概率**定义为

$$
P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},
$$

其中 $AB$ 表示交事件 $A\cap B$。

条件概率把参照范围从 $\Omega$ 缩小到 $B$：与 $B$ 不相交的部分不再参与计算，$B$ 内的样本点按 $P(B)$ 重新归一化。因此条件概率仍是概率，只是样本空间换成了 $B$，它满足的公理与运算规律见[概率公理](/knowledge/maths/probability/probability-axioms/)。

定义要求 $P(B)>0$。$P(B)=0$ 时分式没有意义，不能直接对零概率事件取条件。

$P(AB)$ 与 $P(A\mid B)$ 不是同一个量：前者是 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率，后者是已知 $B$ 发生后 $A$ 发生的概率。两者的联系由乘法公式给出。同样，$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 一般也不相等：它们分别以 $B$ 和 $A$ 为参照范围。

[来源：条件概率与乘法公式](/knowledge/maths/probability/conditional-probability/#definition)

条件概率把参照范围从 $\Omega$ 缩到条件事件上；把定义式移项就得到乘法公式。

## 完备事件组

若事件 $B_1,B_2,\ldots,B_n$ 两两互斥，并且 $\bigcup_{i=1}^{n}B_i=\Omega$，则称它们构成一个**完备事件组**。当各 $B_i$ 非空时，它们也构成样本空间的一个**划分**。样本空间与事件的记号见[随机事件](/knowledge/maths/probability/random-events/)。

在使用 $P(A\mid B_i)$ 的公式时，还必须要求 $P(B_i)>0$；非空事件的概率不一定为正。这里单独说明这一附加条件，避免把集合划分与概率条件混为一谈。

[来源：完备事件组](/knowledge/maths/probability/event-partition/#definition)

## 全概率公式

设 $B_1,\ldots,B_n$ 是[完备事件组](/knowledge/maths/probability/event-partition/)，且 $P(B_i)>0$。对任意事件 $A$，

$$
P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i).
$$

每一项是交事件 $AB_i$ 的概率；这些交事件互斥且合起来是 $A$，因此可以相加。公式从不同来源的比例和各来源内的发生率求总概率。若某个来源概率为零，其交事件概率也为零，可以去掉该项；不能在分母为零时直接使用条件概率。

[来源：全概率公式](/knowledge/maths/probability/total-probability/#definition)

## 贝叶斯公式

设 $B_1,\ldots,B_n$ 是[完备事件组](/knowledge/maths/probability/event-partition/)，且 $P(B_i)>0$，$A$ 为满足 $P(A)>0$ 的事件，则对每个 $j=1,\ldots,n$，

$$
P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A\mid B_i)}.
$$

分子是交事件的概率 $P(AB_j)$，分母是 $P(A)$ 的[全概率展开](/knowledge/maths/probability/total-probability/)。因此公式就是把

$$
P(B_j\mid A)=\frac{P(AB_j)}{P(A)}
$$

写成只用各来源概率和来源内条件概率表示的形式。

[来源：贝叶斯公式](/knowledge/maths/probability/bayes-theorem/#definition)

教材用 $P(B_j\mid A)$ 表示“结果已知后反推来源”，竖线右侧固定是已经观察到的结果；先验写作 $P(B_j)$，后验写作 $P(B_j\mid A)$，注意与 $P(A\mid B_j)$ 区分。

## 学习安排

教材按“条件概率、乘法公式、完备事件组、全概率公式、贝叶斯公式”的顺序展开：先缩小样本空间定义条件概率，再把定义式改写成乘法公式，然后用完备事件组把结果按来源分解，最后在结果已知时反推来源。

一组典型问题会先求抽到次品的总概率，再反推次品来源，正好对应两条公式的分工。作答前先把完备事件组写清楚。

“已知条件不改变概率”是独立性所描述的特殊情形，见[事件的独立性](/knowledge/maths/probability/independence/)。乘法公式对所有满足条件的事件成立。

## 判断顺序

判断顺序可以概括为：全概率由原因求结果，贝叶斯由结果推原因。

1. **分清已知与所求**

   弄清题目给出的是条件还是已经观察到的结果，要求的是结果本身的概率，还是某个来源在结果已发生后的概率。

2. **求结果概率时用全概率公式**

   列出构成完备事件组的来源，按来源分别求“来源概率与该来源下结果出现概率的乘积”，再相加。

3. **反推来源时用贝叶斯公式**

   把第2步的和式放进分母，分子只保留目标来源对应的那一项。

## 课程约定

* 交事件统一记作 $AB$，即 $A\cap B$。
* 条件概率写成 $P(A\mid B)$，竖线右侧是已知条件；条件事件的概率必须为正。
* 条件概率要求完备事件组中每个事件的概率为正；作为集合划分，还要求每个事件非空。
* 全概率公式要求各 $P(B_i)>0$，贝叶斯公式还额外要求 $P(A)>0$。

## 易错点

* $P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 一般不同：前者以 $B$ 为参照范围，后者以 $A$ 为参照范围。
* 贝叶斯公式的分母必须包含所有可能来源，不能只写目标来源的概率。
* 全概率公式要求所列事件真的覆盖 $\Omega$；漏掉一个来源，和式只算了一部分概率，由此算出的比值一般会偏大，不再是真正的后验概率。