# 1.4事件的独立性

## 阅读入口

* [事件的独立性](/knowledge/maths/probability/independence/)

## 两个事件独立的定义

设 $A$、$B$ 是样本空间 $\Omega$ 上的两个事件，$P$ 为概率。若

$$
P(AB)=P(A)P(B),
$$

则称 $A$ 与 $B$ **相互独立**。这里 $AB$ 表示交事件 $A\cap B$，即两个事件同时发生。

乘法形式是最通用的判定式：它不要求 $P(A)$、$P(B)$ 为正，因此概率为零的事件也可以讨论独立性。例如 $P(A)=0$ 时，对任意事件 $B$ 都有 $P(AB)=0=P(A)P(B)$，所以零概率事件与任意事件独立。

当 $P(B)>0$ 时，由[条件概率的定义](/knowledge/maths/probability/conditional-probability/) $P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$，独立性等价于

$$
P(A\mid B)=P(A).
$$

也就是说，知道 $B$ 发生并不改变 $A$ 的概率。对称地，当 $P(A)>0$ 时也可以写成 $P(B\mid A)=P(B)$。

### 多个事件的独立性

设 $A_1,A_2,\dots,A_n$ 是 $n$ 个事件。

* **两两独立**：对任意 $i\ne j$，都有 $P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)$。
* **相互独立**：对任意 $k\ge 2$ 和任意 $1\le i_1<i_2<\dots<i_k\le n$，都有
  $$
  P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}).
  $$

相互独立要求所有子组都满足乘法关系，因此相互独立一定推出两两独立，反之不成立。

### 三个事件的情形

$A$、$B$、$C$ 相互独立，需要同时满足四个等式：

$$
\begin{gathered}
P(AB)=P(A)P(B),\quad P(AC)=P(A)P(C),\\
P(BC)=P(B)P(C),\quad P(ABC)=P(A)P(B)P(C).
\end{gathered}
$$

前三个等式只说明三者两两独立。缺少第四个等式时，即使两两独立，也不能称三者相互独立。

> [!IMPORTANT]
> **两两独立不能推出相互独立**
>
> 两两独立只验证了每两个事件之间的乘法关系，没有约束三者同时发生的情形。反例见下面的掷硬币例子。

[来源：事件的独立性](/knowledge/maths/probability/independence/#definition)

教材把独立性安排在条件概率之后，是因为乘法公式已经就位；这个定义只要求乘法关系在 $A$、$B$ 之间对称成立，与 $P(A\mid B)$ 是否好算无关。

## 多个事件的独立性

设 $A_1,A_2,\dots,A_n$ 是 $n$ 个事件。

* **两两独立**：对任意 $i\ne j$，都有 $P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j)$。
* **相互独立**：对任意 $k\ge 2$ 和任意 $1\le i_1<i_2<\dots<i_k\le n$，都有
  $$
  P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}).
  $$

相互独立要求所有子组都满足乘法关系，因此相互独立一定推出两两独立，反之不成立。

[来源：事件的独立性](/knowledge/maths/probability/independence/#multiple-events)

教材在这里只列判定式，把独立重复试验与系统可靠性留作两个模型；前者给出 $(1-p)^n$，后者把串并联结构写成取交或取补。

## 独立重复试验

每次试验只关心“成功”与“失败”两种结果，成功概率恒为 $p$（$0<p<1$），且各次试验相互独立，这样的序列称为**伯努利试验序列**，也称作 $n$ 重伯努利试验。

$n$ 次试验中恰好成功 $k$ 次（$k=0,1,\dots,n$）的概率为

$$
P\{\text{恰好成功 }k\text{ 次}\}=C_n^k p^k(1-p)^{n-k},
\qquad C_n^k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
$$

至少成功一次的概率用对立事件“一次都不成功”计算：

$$
P\{\text{至少成功一次}\}=1-P\{\text{一次都不成功}\}=1-(1-p)^n.
$$

若要求至少成功一次的概率不小于 $q$（$0<q<1$），则需要

$$
1-(1-p)^n\ge q
\quad\Longleftrightarrow\quad
(1-p)^n\le 1-q.
$$

因为 $0<1-p<1$，所以 $\ln(1-p)<0$；两边取对数后再除以这个负数时，不等号方向改变：

$$
n\ge\frac{\ln(1-q)}{\ln(1-p)}.
$$

满足该式的最小正整数就是所需的试验次数。

> [!TIP]
> **两种常见问法**
>
> “恰好成功 $k$ 次”用二项概率公式，系数 $C_n^k$ 不能漏；“至少成功一次”先取对立事件，再解关于 $n$ 的不等式。后者的概率随 $n$ 增大迅速趋近 $1$，不要与“恰好一次”混淆。

试验独立性的判定见[事件的独立性](/knowledge/maths/probability/independence/)。成功次数的分布可进一步联系[二项分布](/knowledge/maths/probability/binomial-distribution/)。

[来源：伯努利试验序列](/knowledge/maths/probability/bernoulli-trials/#definition)

## 系统可靠性

设系统由 $n$ 个元件组成，各元件是否正常相互独立，第 $i$ 个元件正常的概率为 $p_i$。把“系统工作”写成元件状态的交事件或它的对立事件，就能直接套用独立性的乘法公式。

* **串联系统**：所有元件都正常时系统才工作，因此
  $$
  P(\text{系统工作})=\prod_{i=1}^{n}p_i.
  $$
* **并联系统**：至少一个元件正常时系统就工作。用对立事件“全部失效”计算：
  $$
  P(\text{系统工作})=1-\prod_{i=1}^{n}(1-p_i).
  $$

串联系统把各元件的可靠概率相乘，并联系统则把各元件的失效概率相乘后取补。混合结构先分解成串联、并联子块，再逐块套用这两条公式。

> [!CAUTION]
> **独立性必须由模型或题设给出**
>
> “来自同一批”“同时工作”“随机抽取”都不能单独作为元件独立的依据。串联、并联公式以及独立重复试验的乘法公式，都只在独立性成立时才能使用。

[来源：串并联系统的可靠性](/knowledge/maths/probability/system-reliability/#definition)

## 学习安排

教材先用乘法公式给出两个事件独立的定义，再把它推广到多个事件，最后用独立重复试验和系统可靠性说明独立性的用法。建议按“判定两个事件 → 检查多个事件的全部等式 → 代入重复试验或可靠性模型”的顺序复习，因为后两块都以乘法公式为前提。

系统可靠性一节本质上是把“全部正常”写成交事件、把“至少一个正常”写成交事件的对立事件，再套用独立性的乘法公式。遇到这类题先画出元件的串并联结构，再决定取交还是取补。

## 课程约定

* 交事件统一记作 $AB$，组合数统一记作 $C_n^k$。
* 判定独立时优先使用 $P(AB)=P(A)P(B)$，它不要求 $P(B)>0$；条件概率形式 $P(A\mid B)=P(A)$ 只在 $P(B)>0$ 时使用。
* 解“至少成功一次的概率不小于 $q$”这类问题时，先取对立事件，再对 $(1-p)^n\le 1-q$ 两边取对数；最后把 $n$ 向上取整。

## 重点

* 三个事件相互独立要同时验证四个等式，其中 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ 最容易被漏掉。
* 判断可靠性时先确认元件独立，再按串联“全部正常”、并联“至少一个正常”写出交事件或对立事件。

## 易错点

* 互斥与独立是两个不同的条件。概率都为正的互斥事件一定不独立；只有至少一个事件概率为零时，两者才可能同时成立。
* 两两独立推不出相互独立。掷两枚硬币并以“两枚同面”为第三个事件，可以给出反例。
* 解 $1-(1-p)^n\ge q$ 时，$\ln(1-p)<0$，两边同除以它要改变不等号方向。