# 2.1随机变量及其分布函数

## 阅读入口

* [分布函数](/knowledge/maths/probability/distribution-function/)

## 随机变量

设随机试验的样本空间为 $\Omega$。**随机变量** $X$ 将每个样本点 $\omega$ 映射为一个实数 $X(\omega)$，并且对每个实数 $x$，集合 $\{\omega:X(\omega)\le x\}$ 都是事件，因此可以计算其概率。

随机变量是函数，$X(\omega)$ 是一次结果对应的数值；同一个随机变量在不同试验结果下可以取不同值。每个结果必须有确定的对应值，但不同结果可以映射为同一个数。

[来源：随机变量](/knowledge/maths/probability/random-variable/#definition)

## 分布函数

设 $X$ 是[随机变量](/knowledge/maths/probability/random-variable/)。对任意实数 $x$，$\{X\le x\}$ 表示使 $X(\omega)\le x$ 的所有样本点组成的集合，它是一个事件。**分布函数**定义为

$$
F(x)=P\{X\le x\},\qquad -\infty<x<+\infty.
$$

分布函数在全体实数上有定义，并且只由概率决定，所以离散型、连续型和混合型随机变量都可以用它描述，不需要事先假定存在分布律或概率密度。

> [!NOTE]
> **记号约定**
>
> $P\{X\le x\}$ 与 $P(X\le x)$ 含义相同，本页统一用前者。$F(x)$ 是 $x$ 的函数，其中 $x$ 取任意实数，不是随机变量。

[来源：分布函数](/knowledge/maths/probability/distribution-function/#definition)

从这里开始，2.1的主线是分布函数而不是分布律；2.2、2.3才分别补上离散与连续的描述方式。

## 分布函数的性质

设 $F$ 是随机变量 $X$ 的分布函数。

1. **单调不减**：若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1)\le F(x_2)$。
2. **右连续**：$F(x+0)=F(x)$，即 $\lim_{t\to x^+}F(t)=F(x)$。左极限 $F(x-0)=\lim_{t\to x^-}F(t)$ 存在，但可以不等于 $F(x)$。
3. **两端极限**：$F(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$，$F(+\infty)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$。

**证明**

**单调性**

若 $x_1<x_2$，则事件 $\{X\le x_1\}$ 是 $\{X\le x_2\}$ 的子集。由概率的单调性，

$$
F(x_1)=P\{X\le x_1\}\le P\{X\le x_2\}=F(x_2).
$$

**右连续与左极限**：当 $x_n\downarrow x$ 时，事件 $\{X\le x_n\}$ 单调减少，其交为 $\{X\le x\}$，于是 $F(x_n)\to F(x)$，这就是右连续。当 $x_n\uparrow x$ 时，事件 $\{X\le x_n\}$ 单调增加，其并为 $\{X<x\}$，所以

$$
F(x-0)=P\{X<x\}.
$$

由单调性和两端极限还可得到 $0\le F(x)\le 1$。

> [!TIP]
> **充分性**
>
> 反过来，任何满足单调不减、右连续以及两端极限为 $0$ 和 $1$ 的函数，都可以作为某个随机变量的分布函数。判断一个函数能否充当分布函数时，只需核对这三条，并确认定义域是全体实数。

### 由分布函数计算概率

对任意 $a<b$，区间概率都能写成 $F$ 在端点处取值之差。记 $F(a-0)=\lim_{x\uparrow a}F(x)$，则

| 概率                 | 用分布函数表示         |
| :----------------- | :-------------- |
| $P\{a<X\le b\}$    | $F(b)-F(a)$     |
| $P\{a\le X\le b\}$ | $F(b)-F(a-0)$   |
| $P\{a<X<b\}$       | $F(b-0)-F(a)$   |
| $P\{a\le X<b\}$    | $F(b-0)-F(a-0)$ |

单点概率等于分布函数在该点的跳跃高度：

$$
P\{X=a\}=F(a)-F(a-0).
$$

尾概率可以写为

$$
P\{X>x\}=1-F(x),\qquad P\{X\ge x\}=1-F(x-0).
$$

此外，$P\{X<x\}=F(x-0)$。

> [!WARNING]
> 分布函数定义中的“$\le$”决定了端点写法。改写区间时，端点是否包含决定了该用 $F(a)$ 还是 $F(a-0)$；离散型不能随意把 $<$ 换成 $\le$。连续型的单点概率为零，端点才可以忽略。

离散型与连续型随机变量都可用分布函数描述；连续的分布函数不一定有概率密度。

[来源：分布函数](/knowledge/maths/probability/distribution-function/#properties)

这里的三条性质也是3.1判断二元函数能否作联合分布函数的起点，那里还会再加一条矩形增量非负。

## 学习安排

教材先用分布函数统一描述离散型、连续型和混合型随机变量，再列出分布函数的三条性质，末尾区分离散型与连续型，具体的离散分布与连续分布留到2.2、2.3展开。复习时先固定 $F(x)=P\{X\le x\}$ 这一个定义，区间概率、单点概率和尾概率都由它推出，不必另记一套端点规则。

阅读顺序建议：先核对三条性质，再用分布函数计算几段区间概率，最后才区分离散型与连续型。这样在遇到具体分布时，判断依据始终是分布函数，而不是“取值是否无限”这类表面特征。

## 课程约定

* 分布函数写作 $F(x)=P\{X\le x\}$，定义域是全体实数；教材用 $F(a-0)=\lim_{x\uparrow a}F(x)$ 表示左极限，本课程沿用这一记号。
* 区间概率一律由分布函数相减得到，不单独记忆分布律或密度的端点规则。
* 随机变量写成 $X=X(\omega)$，强调它是样本空间上的实值函数，而不是一个固定的数。

## 重点

* 判断一个函数能否作为分布函数，只看单调不减、右连续、两端极限三条。
* 计算 $P\{a<X\le b\}$ 一类问题时，先确认区间是否包含端点 $a$、$b$，再决定用 $F(a)$ 还是 $F(a-0)$。
* 离散型与连续型的区别在于描述方式：前者用分布律，后者用概率密度；两者的分布函数都满足同样的三条性质。

## 易错点

* 分布函数定义中的“$\le$”决定端点写法，离散型不能随意把 $<$ 换成 $\le$。
* 连续型的单点概率为零，端点才可以忽略；离散型的跳跃点必须保留。
* 取值有无穷多个不一定是连续型，例如取正整数的泊松变量仍为离散型。
* 分布函数连续也不保证存在概率密度，不能由“$F$ 连续”直接写出密度。

## 复习要点

画分段分布函数时，先把跳跃点和每段的高度标出来，再核对每个分段点是否取右侧表达式。分段点归入右侧区间，正是右连续的要求；检查这一点可以快速发现端点写错的问题。