# 2.2离散型随机变量

## 阅读入口

* [离散型随机变量](/knowledge/maths/probability/discrete-distributions/)

## 分布律

若随机变量 $X$ 的全部可能取值是有限个或可列个，即 $x_1,x_2,\ldots$，则称 $X$ 为**离散型随机变量**。它由每个取值的概率完整描述：

$$
P\{X=x_k\}=p_k,\qquad p_k\ge 0,\qquad \sum_k p_k=1.
$$

这组概率称为 $X$ 的**分布律**（也叫分布列）。两条要求缺一不可：每个 $p_k$ 非负，所有取值的概率之和为 $1$。

事件 $\{X\in A\}$ 的概率按取值相加：

$$
P\{X\in A\}=\sum_{x_k\in A}p_k.
$$

<!-- more -->

分布律与分布函数 $F(x)=P\{X\le x\}$ 互相决定。离散型的 $F$ 是阶梯函数，在每个取值 $x_k$ 处向上跳跃 $p_k$：

$$
F(x)=\sum_{x_k\le x}p_k.
$$

[来源：离散型随机变量](/knowledge/maths/probability/discrete-distributions/#definition)

分布律的两条要求是对取值与概率的约束，常见分布只是在这些约束下挑出的模型；复习各分布时应对照取值、参数与典型模型。

## 二项分布

在 $n$ 次相互独立、每次成功概率为 $p$ 的伯努利试验中，成功次数 $X$ 服从二项分布，记为 $X\sim B(n,p)$，其中 $n$ 为非负整数，$0\le p\le1$。对 $k=0,1,\ldots,n$，

$$
P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.
$$

系数 $\binom nk$ 计算 $k$ 次成功出现的位置组合。$n=1$ 时得到两点分布。

[来源：二项分布](/knowledge/maths/probability/binomial-distribution/#definition)

## 泊松分布

若随机变量 $X$ 的概率为

$$
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots,\quad \lambda>0,
$$

则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布。它可用于符合泊松过程假设的固定时间或空间区间内的事件计数；仅仅观察到计数并不足以推出模型成立。

[来源：泊松分布](/knowledge/maths/probability/poisson-distribution/#definition)

## 几何分布

各次试验相互独立且成功概率均为 $p$（$0<p\le1$）。若 $X$ 表示首次成功所需的试验总次数，则

$$
P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,\ldots.
$$

另一种约定记录首次成功前的失败次数，取值从 $0$ 开始，使用公式前应确认参数化。

[来源：几何分布](/knowledge/maths/probability/geometric-distribution/#definition)

## 超几何分布

总体有 $N$ 件，其中 $M$ 件属于目标类，等可能地不放回抽取 $n$ 件。令 $X$ 为抽中的目标数，则

$$
P(X=k)=\frac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn},
\qquad \max(0,n-N+M)\le k\le\min(n,M).
$$

其中 $0\le M\le N$、$0\le n\le N$，各参数均为整数；超出取值范围时概率为零。分子分别选择目标与非目标，分母计数所有抽取组合。

[来源：超几何分布](/knowledge/maths/probability/hypergeometric-distribution/#definition)

这一组分布按“计数 → 等待”排列：二项与泊松都在数成功或事件发生的次数，几何数首次成功所需的试验次数，超几何则是有限总体下二项的替代。

## 学习安排

本节先给出分布律，再列出常见离散分布，最后处理泊松近似与几何分布的无记忆性。阅读时先确认分布律的两条要求，再逐行对照每个分布的取值与典型模型。

常见分布里，二项与超几何的区别是本章第一个判断点：前者要求各次独立、成功概率不变，后者对应有限总体不放回抽样。泊松近似只是二项分布的一种近似，不改变二项模型本身的假设。几何分布放在最后，因为无记忆性的推导要用到它的尾概率。

本章的离散部分与连续部分对照阅读更有效：离散型用分布律求和，连续型用密度积分；两者共用的分布函数概念在[分布函数](/knowledge/maths/probability/distribution-function/)中定义。下一节连续型分布会反复用到“先定支持集、再算概率”的顺序。

## 课程约定

* 记 $q=1-p$；二项分布写作 $B(n,p)$，两点分布作为 $n=1$ 的特例记作 $B(1,p)$。
* 泊松分布记作 $P(\lambda)$，其中 $\lambda>0$；做近似计算时常取 $\lambda=np$。
* 几何分布按“首次成功所需的总试验次数”定义，取值从 $1$ 开始；教材若从 $0$ 开始计数，期望等公式要相应换算。
* 超几何分布按 $N$（总数）、$M$（目标数）、$n$（抽取数）的顺序书写，取值范围受三者共同限制。

## 判断顺序

1. 各次试验是否独立、成功概率是否保持不变？是则用二项分布；有限总体不放回抽样则考虑超几何分布。
2. 是否符合泊松过程的计数模型？若是，可考虑泊松分布。对二项分布做泊松近似时，另须检查 $n$ 较大、$p$ 较小及 $np$ 的大小。
3. 是否在等第一次成功？是用几何分布，并先确认取值从 $0$ 还是从 $1$ 开始。
4. 最后检查分布律是否覆盖全部可能取值、概率之和是否为 $1$。

## 易错点

> [!WARNING]
> 泊松近似要同时检查试验次数、单次概率和 $np$ 三个条件。只看到试验次数多就近似，误差可能很大。

> [!CAUTION]
> 几何分布有两种参数化。期望取 $1/p$ 还是 $q/p$，取决于取值从 $1$ 还是从 $0$ 开始；代公式前先看题目采用哪一种。

## 复习要点

复习时按“取值 → 分布律 → 典型模型”默写五个分布，再专挑二项与超几何的辨析题。几何分布的题目先写清取值起点，再套无记忆性；泊松近似的题目先算 $\lambda=np$，再决定是否近似。