# 2.3连续型随机变量

## 阅读入口

* [连续型随机变量](/knowledge/maths/probability/continuous-distributions/)

## 密度与分布函数

若存在非负可积函数 $f$，使随机变量 $X$ 的分布函数可以写成

$$
F(x)=P\{X\le x\}=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm dt,\qquad -\infty<x<+\infty,
$$

则称 $X$ 为**连续型随机变量**，$f$ 称为 $X$ 的**概率密度函数**，简称密度。

密度满足

$$
f(x)\ge 0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx=1.
$$

对任意 $a<b$，区间概率由密度积分给出：

$$
P\{a<X<b\}=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.
$$

<!-- more -->

在 $f$ 的连续点处有 $F'(x)=f(x)$。改变 $f$ 在有限个点处的取值不改变积分，也不改变分布。

> [!WARNING]
> **密度不是概率**
>
> $f(x)$ 是 $x$ 附近单位长度上的概率密度，不是 $P\{X=x\}$。密度可以大于 $1$；连续型随机变量满足 $P\{X=x\}=0$，但事件 $\{X=x\}$ 并非不可能事件。

求密度中的未知系数时，必须同时检查非负性与总积分为 $1$，不能只用其中一个条件。

[来源：连续型随机变量](/knowledge/maths/probability/continuous-distributions/#definition)

教材用积分把密度与分布函数连起来，所以区间概率只需对 $f$ 积分；后面三个分布的差别主要在支持集与密度形状。

## 均匀分布

设 $a<b$，$X\sim U[a,b]$。它的密度在 $[a,b]$ 上为常数，分布函数在区间内线性增长：

$$
f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a},&a<x<b,\\0,&\text{其他},\end{cases}
\qquad
F(x)=\begin{cases}0,&x<a,\\\dfrac{x-a}{b-a},&a\le x<b,\\1,&x\ge b.\end{cases}
$$

[来源：均匀分布](/knowledge/maths/probability/uniform-distribution/#definition)

## 指数分布

设 $X\sim E(\lambda)$，其中 $\lambda>0$。密度与分布函数为

$$
f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\0,&x<0,\end{cases}
\qquad
F(x)=\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\0,&x<0.\end{cases}
$$

[来源：指数分布](/knowledge/maths/probability/exponential-distribution/#definition)

## 正态分布

设 $\sigma>0$，$X\sim N(\mu,\sigma^2)$。密度为

$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right],
\qquad -\infty<x<+\infty.
$$

[来源：正态分布](/knowledge/maths/probability/normal-distribution/#definition)

正态的密度写不出初等分布函数，所以本节只能用 $\Phi$ 查表；均匀与指数则可以由密度直接积分。

## 学习安排

教材先建立密度与分布函数的关系，再依次讨论均匀、指数、正态三种分布。均匀分布用来熟悉“概率等于长度比”的积分计算；指数分布的无记忆性可以与离散部分的几何分布对照；正态分布是本章重点，标准化是后续查表和统计推断的基础。

阅读顺序上，先弄清密度的归一化与区间积分，再看三个分布的密度形状和支持集，最后专门练正态标准化。正态部分不要只记密度公式，对称性和标准化才是做题时真正用到的性质。

## 课程约定

* 正态分布写作 $N(\mu,\sigma^2)$，第二个参数是方差；标准化用 $Z=(X-\mu)/\sigma$，除的是标准差。
* 指数分布 $E(\lambda)$ 的 $\lambda$ 是失效率，期望为 $1/\lambda$；它与几何分布的参数 $p$ 角色不同，不要互相套用。
* 教材用 $\varphi$ 与 $\Phi$ 分别表示标准正态的密度与分布函数；区间概率一律用 $\Phi$ 的差表示。
* 连续型随机变量在单点的概率为 $0$，所以区间端点的开闭不影响数值；离散型不能这样合并端点。

## 重点

* 求密度中的未知系数：先保证非负，再用总积分为 $1$ 定系数，最后回代检查。
* 正态区间概率：先算 $z=(x-\mu)/\sigma$ 再查表；遇到负的 $z$ 用对称性转换。
* 三个常用概率区间要能直接说出，并知道它们分别对应几个标准差。
* 均匀分布与指数分布的数字特征要能由参数直接写出，不用每次积分。

## 易错点

> [!WARNING]
> 密度 $f(x)$ 不是单点概率，可以大于 $1$；连续型随机变量总有 $P\{X=x\}=0$，不能把 $f(x)$ 与 $P\{X=x\}$ 混为一谈。

> [!CAUTION]
> 标准化时除以标准差 $\sigma$，不是方差 $\sigma^2$。$N(\mu,\sigma^2)$ 的第二个参数是方差，看到 $N(1,4)$ 应先写出 $\sigma=2$。

## 复习要点

拿到连续型题目先写支持集和密度，再决定积分区间；正态题先标准化再查表。复习时把三个分布的密度、分布函数和数字特征列成对照表，重点核对正态的标准化与对称性。