# 2.4随机变量函数的分布

## 阅读入口

* [随机变量函数的分布](/knowledge/maths/probability/functions-of-random-variables/)

## 分布函数法

分布函数法直接按定义计算 $P\{g(X)\le y\}$，不要求 $g$ 单调，对离散型和连续型都适用；下面两个密度公式也都能由它推出。

1. **确定 $Y$ 的取值范围**

   由 $X$ 的取值范围和 $g$ 的对应关系，先写出 $Y$ 可能取到哪些值。范围之外 $F_Y$ 分别取 $0$ 或 $1$，密度取 $0$。

2. **写出 $F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}$**

   这一步只是套定义，先把分布函数写出来，再处理后一个不等号。

3. **把不等式化成关于 $X$ 的事件**

   $\{g(X)\le y\}$ 等价于 $X$ 落在某个集合上。对连续型，这个集合通常是若干区间；用 $F_X$ 或对 $f_X$ 积分即可算出概率。

4. **需要密度时再求导**

   在 $F_Y$ 可导的点取 $f_Y(y)=F_Y'(y)$，并补上取值范围外的零值。

> [!TIP]
> **先求范围，再算概率**
>
> 先确定 $Y$ 的取值范围，既能避免漏写分段，也是检验答案的重要手段：范围之外 $F_Y$ 应为常数，$f_Y$ 应为 $0$。计算结束前可以顺手核对一次。

[来源：随机变量函数的分布](/knowledge/maths/probability/functions-of-random-variables/#properties)

四步里最容易省掉的是第一步：先写 $Y$ 的取值范围，范围外的分布函数和密度就都有了默认值。

## 单调变换的密度公式

设 $X$ 是连续型随机变量，密度为 $f_X$，取值落在区间 $I$ 内。若 $g$ 在 $I$ 上严格单调、可微，且存在可微的反函数 $x=h(y)$，则 $Y=g(X)$ 也是连续型随机变量，在变换后的取值范围内

$$
f_Y(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,\bigl|h'(y)\bigr|.
$$

**绝对值不能省略**。$g$ 严格递增时 $h'(y)>0$，严格递减时 $h'(y)<0$，而密度必须非负；取绝对值后两种情形使用同一个式子。

**证明**

设 $g$ 在 $I$ 上严格递增，则反函数 $h$ 也递增，且

$$
F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}=P\{X\le h(y)\}=F_X\bigl(h(y)\bigr).
$$

两边对 $y$ 求导，由链式法则得

$$
f_Y(y)=F_X'\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y).
$$

若 $g$ 严格递减，则 $\{g(X)\le y\}=\{X\ge h(y)\}$，于是

$$
F_Y(y)=1-F_X\bigl(h(y)\bigr),
\qquad
f_Y(y)=-f_X\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,\bigl|h'(y)\bigr|.
$$

递增情形中 $h'(y)>0$，同样可写成带绝对值的式子。求导在 $F_X$ 可导的点进行；改变密度在有限个点的取值不影响分布。

**线性变换**：对 $Y=aX+b$，$a\ne 0$，反函数 $h(y)=\dfrac{y-b}{a}$，$h'(y)=\dfrac1a$，于是

$$
f_Y(y)=\frac{1}{|a|}\,f_X\!\left(\frac{y-b}{a}\right).
$$

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$。$a=0$ 时 $Y\equiv b$ 是常数，$F_Y$ 在 $b$ 处由 $0$ 跳到 $1$，$Y$ 没有密度。

[来源：随机变量函数的分布](/knowledge/maths/probability/functions-of-random-variables/#monotone-density)

线性变换是这一式的特例，$a<0$ 时绝对值的必要性在 $Y=-X$ 上最明显。代公式前先确认 $g$ 在 $X$ 的取值区间上严格单调。

## 非单调变换与分支求和

若 $g$ 在整个取值范围内不单调，但可以分成若干段，使每段上 $g$ 严格单调且可微，反函数分别为 $x_i(y)$，则同一 $y$ 处各分支的贡献相加：

$$
f_Y(y)=\sum_i f_X\bigl(x_i(y)\bigr)\left|\frac{\mathrm dx_i}{\mathrm dy}\right|.
$$

这里的分支只计入落在 $X$ 支持集内的那些，支持集指 $f_X>0$ 的取值集合；某个分支在 $y$ 处没有实数值时，它对 $f_Y(y)$ 没有贡献。

> [!WARNING]
> 分支求和只适用于每段上严格单调的情形。若变换把一段正概率区域整体映到同一个常数，该常数处会有概率质量，$F_Y$ 在该点跳跃，此时不能只用一个连续密度描述 $Y$，要回到分布函数法处理。

对 $g(x)=x^2$，当 $y>0$ 时两支为 $x_1(y)=\sqrt y$、$x_2(y)=-\sqrt y$，且

$$
\left|\frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dy}\right|=\left|\frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dy}\right|=\frac{1}{2\sqrt y},
$$

所以

$$
f_Y(y)=\frac{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y},\qquad y>0,
$$

而 $y\le 0$ 时 $f_Y(y)=0$。这个结果也可以先写 $F_Y(y)=P\{-\sqrt y\le X\le\sqrt y\}$，再对 $y$ 求导得到。

[来源：随机变量函数的分布](/knowledge/maths/probability/functions-of-random-variables/#branch-sum)

经典例子是 $g(x)=x^2$：$y>0$ 时两支都要算，$y\le 0$ 时密度为零。判断能否用单调变换公式，先看 $g$ 在支持集上是否严格单调。

## 学习安排

分布函数法不依赖 $g$ 的形状，并统一处理离散型、单调变换、非单调变换三种情形。后面两个密度公式都能由它推出；其他变换问题也回到这一方法。

建议按下面的顺序读：

1. 先把分布函数法的四步走一遍，写出 $F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}$ 并化成关于 $X$ 的事件。
2. 离散型只需把各取值映射过去，并合并同一函数值对应的概率。
3. 单调变换记 $f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|$，重点确认反函数与变换后的取值区间。
4. 非单调变换按分支求和，只计落在 $X$ 支持集内的分支；若某段正概率区域被映成同一个常数，要回到分布函数法处理点质量。

## 课程约定

* 本课程用 $F_X$、$f_X$ 表示 $X$ 的分布函数与密度，$Y=g(X)$ 的对应量记作 $F_Y$、$f_Y$；求 $Y$ 的分布就是求这两者之一。
* 单调变换公式中的反函数统一写成 $x=h(y)$，密度写作 $f_X(h(y))|h'(y)|$，绝对值不换成 $h'(y)$。
* 线性变换 $Y=aX+b$ 单独记住因子 $\dfrac{1}{|a|}$；$a=0$ 时 $Y$ 退化为常数，没有密度。

## 重点

* 先确定 $Y$ 的取值范围，再算分布函数；范围外的 $F_Y$ 是 $0$ 或 $1$，密度是 $0$。
* 离散型一定要合并同一函数值对应的概率。
* 连续型最后对 $F_Y$ 求导得到 $f_Y$，并补上分段条件。
* 检查答案：密度非负、全域积分为 $1$、取值范围与分段一致。

## 易错点

> [!WARNING]
> 单调变换的密度公式只适用于 $g$ 在 $X$ 的取值区间上严格单调的情形。$Y=X^2$、$Y=|X|$ 这类变换要按分支求和，直接套 $f_X(h(y))|h'(y)|$ 会漏掉一支的贡献。

> [!CAUTION]
> 求 $f_Y$ 时忘记写“其他位置为 $0$”是常见失分点。密度只在 $Y$ 的取值范围内有非零表达式，这个范围要由 $X$ 的范围和 $g$ 一起确定。

## 复习要点

复习时可按一条检查链整理：先写 $Y$ 的范围 → 再写 $F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}$ → 化成关于 $X$ 的区间 → 求导 → 用“非负、积分为 $1$、范围一致”三条自检。分段条件是常见漏项，应在最后一步核对。