# 3.1二维随机变量

## 阅读入口

* [二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/)

## 联合分布函数

设 $X$、$Y$ 是定义在同一概率空间上的随机变量，组成[二维随机向量](/knowledge/maths/probability/random-vector/) $(X,Y)$。

对任意实数 $x,y$，把 $\{X\le x\}$ 与 $\{Y\le y\}$ 同时发生的事件记作 $\{X\le x,\,Y\le y\}$。称二元函数

$$
F(x,y)=P\{X\le x,\;Y\le y\},\qquad -\infty<x,y<+\infty
$$

为 $(X,Y)$ 的**联合分布函数**。$F(x,y)$ 是点 $(x,y)$ 左下无穷矩形区域上的概率，它只是一维分布函数 $F(x)=P\{X\le x\}$ 的推广形式；一维情形见[分布函数](/knowledge/maths/probability/distribution-function/)。

矩形区域的概率由 $F$ 在四个顶点处的取值组合得到。对 $a<b$、$c<d$，

$$
\begin{aligned}
P\{a<X\le b,\;c<Y\le d\}
={}&F(b,d)-F(a,d)\\
&-F(b,c)+F(a,c).
\end{aligned}
$$

这个式子决定了二维情形的端点写法：四个顶点都要取到，不能用一维的差 $F(b)-F(a)$ 直接套用。

[来源：二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/#definition)

从这里开始，$F(x,y)$ 与一维的 $F(x)$ 不再通用：一维的差要换成四个顶点的组合，后面计算矩形概率都用这个写法。

## 联合分布函数的性质

联合分布函数 $F(x,y)$ 满足：

1. **对每个坐标单调不减**：固定 $y$，若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1,y)\le F(x_2,y)$；固定 $x$ 时对 $y$ 同理。
2. **对每个坐标右连续**：$F(x+0,y)=F(x,y)$，$F(x,y+0)=F(x,y)$。
3. **极限行为**：任一坐标趋于 $-\infty$ 时极限为零，即 $F(-\infty,y)=0$、$F(x,-\infty)=0$；两个坐标同时趋于 $+\infty$ 时极限为一，即 $F(+\infty,+\infty)=1$。
4. **矩形增量非负**：对任意 $a<b$、$c<d$，都有 $F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge 0$。

> [!WARNING]
> 仅逐坐标单调（即使对每个坐标右连续）不足以保证一个二元函数是联合分布函数。还必须检查任意矩形上的增量非负，这是二维特有的要求；只按一维的三条性质推广会漏掉这一条。

[来源：二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/#properties)

四条性质里，前三条都能固定一个坐标后逐条对照一维，最后一条才涉及矩形区域；这也是二维与一维唯一的实质差别。

## 二维离散型分布

若 $X$、$Y$ 都只取有限个或可列个值，则称 $(X,Y)$ 为**二维离散型随机变量**。记

$$
p_{ij}=P\{X=x_i,\;Y=y_j\},\qquad i,j=1,2,\dots
$$

称为 $(X,Y)$ 的**联合分布律**，它必须满足

$$
p_{ij}\ge 0,\qquad \sum_i\sum_j p_{ij}=1.
$$

联合分布律通常列成二维表：固定 $i$ 是一行，固定 $j$ 是一列，表内每个单元格就是 $(X,Y)$ 取相应值对的概率。求某个事件的概率，就是把表内满足该条件的单元格相加。

例如求 $P\{X<Y\}$，应选出所有满足 $x_i<y_j$ 的单元格再相加，不能只比较行号与列号的大小：行、列的位置取决于取值的排列顺序，与取值大小无关。

[来源：二维离散型分布](/knowledge/maths/probability/joint-discrete-distribution/#definition)

## 二维连续型与区域积分

若存在非负可积函数 $f(x,y)$，使

$$
F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)\,\mathrm dv\,\mathrm du,
$$

则称 $(X,Y)$ 为**二维连续型随机变量**，$f$ 称为**联合密度**。联合密度满足

$$
f(x,y)\ge 0,\qquad \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=1.
$$

对平面区域 $D$，

$$
P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.
$$

[来源：二维连续型分布](/knowledge/maths/probability/joint-density/#definition)

计算区域概率可以按以下步骤进行：

1. **画出联合密度的支持区域**

   即 $f(x,y)>0$ 的点集。它由分段条件给出，通常是三角形、矩形或带边界的曲边区域。

2. **与事件区域取交集**

   把满足事件条件 $\{(x,y):\text{事件发生}\}$ 的区域和上一步的支持区域求交。只有交集上密度才不为零，积分也只在交集上做。

3. **确定积分次序**

   按交集区域的形状选择先对哪个变量积分，把边界用 $x$ 或 $y$ 表示清楚后再写积分限。

> [!IMPORTANT]
> 分布函数 $F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)\,\mathrm dv\,\mathrm du$ 的积分同样受支持区域约束。当 $(x,y)$ 落在支持区域内部时，真正的积分范围是 $(-\infty,x]\times(-\infty,y]$ 与支持区域的交集，不能机械地按矩形积分到 $x,y$。

[来源：二维连续型分布](/knowledge/maths/probability/joint-density/#properties)

教材用三角形区域上的联合密度演示这三步；离散型的二维表只是把同一件事换成逐格相加，判断条件仍是 $x_i$ 与 $y_j$ 的大小。

## 学习安排

教材从一维分布函数直接推广到二维：先用联合分布函数 $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$ 统一描述，再分别处理二维离散型与二维连续型，最后用一个三角形区域上的联合密度做区域积分。

阅读时先核对联合分布函数的四条性质，特别是矩形增量非负这一条；再看离散型为什么要把分布律列成二维表、连续型为什么必须先画支持区域；最后用区域积分例题走一遍“支持区域与事件区域取交集”的过程。

本章后面的边缘分布、条件分布与独立性都以联合分布为出发点，所以这一节的定义和记号要先固定下来。一维的分布函数与密度见[分布函数](/knowledge/maths/probability/distribution-function/)与[连续型随机变量](/knowledge/maths/probability/continuous-distributions/)。

## 课程约定

* 随机向量写作 $(X,Y)$；联合分布函数写作 $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$，两个坐标都取 $\le$，因此矩形概率按 $F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)$ 展开，四个顶点都要写到。
* 联合分布律 $p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\}$ 列成二维表时，固定 $i$ 是一行，固定 $j$ 是一列；求事件概率按单元格相加。
* 二维连续型的联合密度写作 $f(x,y)$，分布函数由二重积分定义；区域概率一律用积分表示，不另设端点规则。
* 求区域概率的第一步固定是画支持区域，第二步与事件区域取交集，第三步才决定积分次序。

## 重点

* 判定二元函数能否作为联合分布函数，除逐坐标单调、右连续和两端极限外，还要检查任意矩形上的增量非负。
* 离散型题目的关键是逐格对照条件：求 $P\{X<Y\}$ 要选出所有 $x_i<y_j$ 的格子，不能比较行号、列号。
* 连续型题目的关键是积分区域。分布函数的积分也要受支持区域约束，不能一律积到 $x,y$。
* 归一化条件用于求联合密度中的待定系数，求完要回代检查非负性。

## 易错点

> [!WARNING]
> 仅逐坐标单调不足以保证一个二元函数是联合分布函数。矩形增量非负是二维特有的条件，把一维的三条性质直接推广会漏掉它。

> [!CAUTION]
> 联合密度在三角形区域上取常数，并不意味着 $X$ 与 $Y$ 独立。常数密度只说明概率与面积成正比，独立性要看联合分布能否分解为两个一维分布的乘积。

## 复习要点

做二维题时先画出支持区域，再在图上标出事件区域，最后写积分限；这一步比直接套公式慢一点，但能避免积分区域取错。复习时把联合分布函数的四条性质与一维的三条性质对照列一遍，重点标出“矩形增量非负”这条一维没有的要求。