# 3.2边缘分布

## 阅读入口

* [边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/)

## 边缘分布函数

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，联合分布函数为

$$
F(x,y)=P\{X\le x,\;Y\le y\}.
$$

若只关心 $X$，不对 $Y$ 作任何限制，则事件 $\{X\le x\}$ 就是 $\{X\le x,\;Y<+\infty\}$，于是

$$
F_X(x)=P\{X\le x\}=F(x,+\infty)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y).
$$

$F_X$ 称为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的**边缘分布函数**，由它给出的分布称为 $X$ 的**边缘分布**。同理，

$$
F_Y(y)=F(+\infty,y)=\lim_{x\to+\infty}F(x,y)
$$

是 $Y$ 的边缘分布函数。

式中的 $+\infty$ 表示取极限，不是把 $+\infty$ 当作普通实数代入。边缘分布相当于不再对另一个变量施加限制：无论 $Y$ 取什么值都计入，只看 $X$ 落在哪个范围。离散型与连续型有各自的求法，见下文。

[来源：边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/#definition)

教材用 $F(x,+\infty)$ 把另一个变量“放到最大”，边缘分布因此只保留一个自变量；离散与连续的具体算法放在下一条性质里。

## 边缘分布律与边缘密度

### 离散型：按行、列求和

设 $(X,Y)$ 为离散型随机变量，联合分布律为

$$
p_{ij}=P\{X=x_i,\;Y=y_j\},\qquad i,j=1,2,\dots,
$$

行和与列和分别记作

$$
p_{i\cdot}=\sum_{j}p_{ij},\qquad p_{\cdot j}=\sum_{i}p_{ij}.
$$

事件 $\{X=x_i\}$ 可以按 $Y$ 的取值拆成互不相容的事件 $\{X=x_i,Y=y_j\}$ 的并，概率相加得

$$
P\{X=x_i\}=p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij},\qquad
P\{Y=y_j\}=p_{\cdot j}=\sum_i p_{ij}.
$$

把联合分布律列成二维表时，行对应 $X$、列对应 $Y$，$P\{X=x_i\}$ 是整行之和，$P\{Y=y_j\}$ 是整列之和：

| $X\backslash Y$ | $0$   | $1$   | $P\{X=x\}$ |
| :-------------- | :---- | :---- | :--------- |
| $0$             | $0.2$ | $0.3$ | $0.5$      |
| $1$             | $0.1$ | $0.4$ | $0.5$      |
| $P\{Y=y\}$      | $0.3$ | $0.7$ | $1$        |

表中 $P\{X=0\}=0.2+0.3=0.5$，$P\{Y=1\}=0.3+0.4=0.7$；最右一列与最下一行分别是 $X$、$Y$ 的边缘分布，右下角为 $1$。边缘概率是整行或整列的和，不是表中某一格的联合概率。

### 连续型：积分消去另一变量

设 $(X,Y)$ 为连续型随机变量，联合密度为 $f(x,y)$，则边缘密度为

$$
f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dy,\qquad
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx.
$$

**求谁保留谁，另一个变量积分掉。** 公式中的上下限只是形式写法，实际范围由联合密度非零的区域（支持集）决定：固定保留变量后，被积掉的变量只能取支持集截出的那一段。支持集不是矩形时，积分限会依赖保留变量。

### 边缘分布能确定什么

联合分布能唯一确定边缘分布，反过来不成立：**边缘分布一般不能唯一确定联合分布**。边缘分布只记录每个变量各自取值的概率，没有保留两者之间的依赖关系。

因此，看到两个边缘分布相同，既不能断定联合分布相同，也不能断定两个变量独立。要还原联合分布，还需要条件分布，见[条件分布](/knowledge/maths/probability/conditional-distribution/)；具体反例见下面的例子。

> [!TIP]
> **检查边缘密度**
>
> 每个边缘密度应非负、在 $(-\infty,+\infty)$ 上积分为 $1$，并且自变量只剩一个。若结果里仍含被积分消去的变量，说明积分没有完成或上下限写错。

[来源：边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/#properties)

本课程在二维表上用 $p_{i\cdot}$、$p_{\cdot j}$ 分别记行和与列和，3.3的条件分布和3.4的独立性判定都沿用这两个记号。

## 学习安排

边缘分布承接联合分布，并为条件分布提供分母。计算顺序是：由联合分布函数取极限 → 离散型按行、列求和 → 连续型对另一个变量积分。连续型先写出联合密度的非零区域，再确定积分限；后面3.3的[条件分布](/knowledge/maths/probability/conditional-distribution/)会继续使用这些结果。

## 课程约定

* 联合分布律列成二维表时，行对应 $X$、列对应 $Y$；$p_{i\cdot}$ 是第 $i$ 行之和，$p_{\cdot j}$ 是第 $j$ 列之和。
* 边缘分布函数写作 $F_X(x)=F(x,+\infty)$，其中 $+\infty$ 表示 $y\to+\infty$ 时的极限。
* 离散概率沿用教材的花括号写法 $P\{X=x_i\}$，条件概率的竖线右侧写已知条件。
* 连续型的结果要分段写出：在支持集上给表达式，在其他位置补 $0$。

## 重点

* 连续型求边缘密度的口诀是“求谁保留谁，另一个变量积分掉”，积分限由支持集决定。
* 支持集不是矩形时（例如 $0<x<y<1$），积分限会随保留变量变化，不能一律写成 $0$ 到 $1$。
* 算完做三项检查：非负、积分为 $1$、自变量只剩一个。

## 易错点

> [!WARNING]
> 行和与列和不要弄反：$P\{Y=y_j\}$ 是第 $j$ 列的和，不是第 $j$ 行的和。

> [!CAUTION]
> 边缘概率不是表中某一格的联合概率。把某个 $p_{ij}$ 直接当作 $P\{X=x_i\}$ 会漏掉同一行的其他格。

## 复习要点

复习时按“写支持集 → 定积分限 → 求和或积分 → 三项检查”的顺序走一遍。边缘分布相同不代表联合分布相同，这一条在做独立性判断时还会再用到。