# 3.3条件分布

## 阅读入口

* [条件分布](/knowledge/maths/probability/conditional-distribution/)

## 条件分布的定义

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量。已知 $Y$ 的取值后 $X$ 的分布，称为在 $Y=y$ 条件下 $X$ 的**条件分布**。它把参照范围从 $(X,Y)$ 的全部可能取值缩小到 $Y=y$ 这条截面上，思想上与事件的条件概率 $P(A\mid B)$ 相同，只是条件换成了另一个随机变量的取值。

### 离散型

设联合分布律为

$$
p_{ij}=P\{X=x_i,\;Y=y_j\},\qquad i,j=1,2,\dots,
$$

记行和 $p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij}$、列和 $p_{\cdot j}=\sum_i p_{ij}$。若 $p_{\cdot j}>0$，则对每个 $i$，

$$
P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}.
$$

固定 $y_j$ 相当于选定联合表的一列，再用这一列的总概率 $p_{\cdot j}$ 归一化。反方向，若 $p_{i\cdot}>0$，则

$$
P\{Y=y_j\mid X=x_i\}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}.
$$

### 连续型

设联合密度为 $f(x,y)$，边缘密度为 $f_X$、$f_Y$，它们的求法见[边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/)。对满足 $f_Y(y)>0$ 的 $y$，定义条件密度与条件分布函数

$$
f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},\qquad
F_{X\mid Y}(x\mid y)=\int_{-\infty}^{x}f_{X\mid Y}(u\mid y)\,\mathrm du.
$$

反方向，对满足 $f_X(x)>0$ 的 $x$，

$$
f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}.
$$

连续型不能把条件密度解释成除以点概率：$P\{Y=y\}=0$，$P\{X\le x,\;Y=y\}/P\{Y=y\}$ 没有意义。条件密度是通过密度之比构造的，只需在 $f_Y(y)>0$ 处几乎处处确定，个别点的取值不影响积分结果。

[来源：条件分布](/knowledge/maths/probability/conditional-distribution/#definition)

条件分布按离散、连续分开处理：离散型取联合表的一列或一行再归一化，连续型用密度之比。两种情形都以“缩小参照范围”为共同思路。

## 条件分布的性质

### 固定条件后仍是分布

固定 $y_j$ 后，条件分布律非负且总和为 $1$：

$$
\sum_i P\{X=x_i\mid Y=y_j\}
=\frac{1}{p_{\cdot j}}\sum_i p_{ij}
=\frac{p_{\cdot j}}{p_{\cdot j}}=1.
$$

固定 $y$（$f_Y(y)>0$）后，条件密度对 $x$ 的积分同样为 $1$：

$$
\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm dx
=\frac{1}{f_Y(y)}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx
=\frac{f_Y(y)}{f_Y(y)}=1.
$$

因此条件密度仍是密度，条件分布律仍是分布律，可以直接用来算条件概率：

$$
P\{X\in A\mid Y=y\}=\int_A f_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm dx.
$$

### 支持区域随条件改变

固定 $y$ 后，条件密度只在联合密度非零的截面上取正值，其余位置为零。这个截面就是条件分布的**支持集**。

若联合密度的支持集是矩形（例如 $a<x<b$，$c<y<d$），那么给定 $y$ 后 $x$ 的范围不随 $y$ 改变。若支持集由不等式给出（例如 $0<x<y<1$），给定 $y$ 后 $x$ 的范围会随 $y$ 变化，写条件密度时必须同时写出这个范围。

### 用条件分布还原联合分布

条件密度与边缘密度的乘积就是联合密度：

$$
f(x,y)=f_{X\mid Y}(x\mid y)f_Y(y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)f_X(x).
$$

也就是说，边缘分布加上条件分布可以唯一确定联合分布；只有边缘分布则不行。把上式对 $y$ 积分，得到密度形式的全概率公式

$$
f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)f_Y(y)\,\mathrm dy,
$$

离散型的对应形式是

$$
P\{X=x_i\}=\sum_j P\{X=x_i\mid Y=y_j\}P\{Y=y_j\}.
$$

条件期望（积分绝对收敛时）为

$$
E(X\mid Y=y)=\int_{-\infty}^{+\infty}x f_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm dx.
$$

它可以先固定条件算出关于 $y$ 的函数，再对条件变量求平均；在混合模型中，这条路径通常比直接求边缘分布更省事。

> [!WARNING]
> 条件概率的分母是条件事件所在列（或行）的边缘概率，不是 $P\{X=x_i\}$。分母用错，各条件概率之和不等于 $1$。

> [!CAUTION]
> 支持区域会随条件改变。联合密度只在 $0<x<y<1$ 上非零时，给定 $Y=y$ 后 $x$ 只能取 $0<x<y$，不能仍写成 $0<x<1$。

[来源：条件分布](/knowledge/maths/probability/conditional-distribution/#properties)

这一组性质里，归一化与支持区域可以直接用来检查答案；还原联合分布则把3.2的边缘密度重新接了回来。

## 学习安排

教材按“离散型条件分布 → 连续型条件密度 → 支持区域随条件改变 → 用条件分布还原联合分布”展开。条件分布的分母就是[边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/)里的行和或列和，所以3.2的求和与积分要先练熟。教材随后用条件分布与边缘分布是否相同来讨论独立性，条件期望则在数字特征一章继续使用。

## 课程约定

* 离散型：给定 $Y=y_j$ 时取联合表的一列，除以该列总概率；给定 $X=x_i$ 时取一行，除以该行总概率。
* 连续型的条件密度记作 $f_{X\mid Y}(x\mid y)$，由密度之比定义。
* 条件密度只需在 $f_Y(y)>0$ 的 $y$ 上按几乎处处意义确定，个别点的取值不影响结果。
* 结论要连同范围一起写：条件密度的表达式和它取正值的 $x$ 区间缺一不可。

## 重点

* 先写联合密度和边缘密度，再固定条件变量，最后从支持集截出另一个变量的范围。
* 条件密度对固定条件下的自变量积分为 $1$，可以用这一点检查结果。
* 条件分布、边缘分布、联合分布三者的换算关系是本节的枢纽，做题时常用来核对结果。

## 易错点

> [!WARNING]
> 条件概率的分母是条件事件所在列（或行）的边缘概率，不是 $P\{X=x_i\}$。分母用错，各条件概率之和就不为 $1$。

> [!CAUTION]
> 连续型不能用 $P\{Y=y\}$ 作分母：这个概率为 $0$。条件密度是密度之比，不是“联合概率除以点概率”。

> [!NOTE]
> 支持区域会随条件改变。联合密度只在三角形 $0<x<y<1$ 上非零时，给定 $Y=y$ 后 $x$ 只能取 $0$ 到 $y$，不能仍写成 $0$ 到 $1$。

## 复习要点

拿到条件分布题先画支持区域，再固定条件写范围，最后归一化检查。条件期望可以按“先固定条件算，再对条件变量平均”理解，这种分两步的算法在混合模型里比直接求边缘分布更省事。