# 3.4随机变量的独立性

## 阅读入口

* [随机变量的独立性](/knowledge/maths/probability/random-variable-independence/)
* [二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/)（联合分布函数与联合密度）
* [边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/)（判定独立性时要与联合分布比较）
* [事件的独立性](/knowledge/maths/probability/independence/)（乘法形式；随机变量独立性是它在分布函数上的推广）

## 随机变量独立的定义

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，联合分布函数为 $F(x,y)=P\{X\le x,\ Y\le y\}$，两个边缘分布函数分别为 $F_X(x)=P\{X\le x\}$ 与 $F_Y(y)=P\{Y\le y\}$。若对任意实数 $x,y$ 都有

$$
F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),
$$

则称 $X$ 与 $Y$ **相互独立**。

分布函数等式等价于：对任意可测集合 $A,B$，

$$
P\{X\in A,\ Y\in B\}=P\{X\in A\}P\{Y\in B\}.
$$

按随机变量的类型，判定式可以写成下面的形式：

| 类型  | 记号                                                                                                                         | 判定式                                      |
| :-- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :--------------------------------------- |
| 离散型 | 联合分布律 $p_{ij}=P\{X=x_i,\ Y=y_j\}$，边缘分布律 $p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij}$、$p_{\cdot j}=\sum_i p_{ij}$                             | 对所有 $i,j$，$p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$ |
| 连续型 | 联合密度 $f(x,y)$，边缘密度 $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dy$、$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx$ | $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 几乎处处成立             |

表中连续型的联合密度指满足 $P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$ 的非负函数，$D$ 为任意平面区域。联合分布与边缘分布的完整讨论分别见[二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/)和[边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/)。

> [!IMPORTANT]
> **两个方向的工作量不对称**
>
> 证独立要检查所有取值：离散型要覆盖全部 $i,j$，连续型要验证几乎处处的密度等式。证不独立只需找到一处失败，例如某个 $i,j$ 使分布律的乘法关系不成立，或某个有正面积的区域上联合密度与边缘密度之积不相等。

### 多个随机变量的相互独立

$X_1,\ldots,X_n$ **相互独立**，当且仅当对任意 $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n$ 都有

$$
F(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}F_i(x_i).
$$

连续型相应地要求

$$
f(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}f_i(x_i)
$$

几乎处处成立；离散型要求每个格点的联合分布律等于各边缘分布律之积。取 $n=2$ 就是两个随机变量相互独立的定义。

> [!WARNING]
> **两两独立不够**
>
> 两两独立只要求任意两个分量满足乘法关系，它推不出相互独立。涉及多个变量的乘积分解、卷积或样本联合密度时，都要先确认相互独立这个更强的条件，反例见下方例子。

[来源：随机变量的独立性](/knowledge/maths/probability/random-variable-independence/#definition)

1.4判定的是事件独立，这里判定的是随机变量；条件从 $P(AB)=P(A)P(B)$ 换成分布函数或密度的乘积。

## 独立性的判定与推论

### 密度分解与支持区域

若联合密度在全平面上能写成两个非负函数的乘积

$$
f(x,y)=g(x)h(y),
$$

且 $g,h$ 在全平面上的积分都是有限正数，则 $X$ 与 $Y$ 独立。事实上，由 $\iint f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=1$ 得 $\left(\int g\right)\left(\int h\right)=1$，而

$$
f_X(x)=g(x)\int_{-\infty}^{+\infty}h(y)\,\mathrm dy,\qquad
f_Y(y)=h(y)\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,\mathrm dx,
$$

两式相乘恰好等于 $g(x)h(y)=f(x,y)$。

反过来，独立时联合密度几乎处处等于 $f_X(x)f_Y(y)$，所以判定时只需检查这种乘积形式。

> [!WARNING]
> **支持区域也要能分离**
>
> 不能只看非零区域内的公式能否分解，还要看支持区域（密度为正的区域）的限制是否也能分离。若支持区域不能写成两个集合的乘积（允许相差一个零测集），即使公式在非零区域内可以分解，也不足以推出独立。

### 独立变量的函数仍独立

若 $X$ 与 $Y$ 独立，则对任意函数 $g,h$，$g(X)$ 与 $h(Y)$ 也独立。这是因为 $\{g(X)\in A\}$ 与 $\{h(Y)\in B\}$ 分别是 $\{X\in g^{-1}(A)\}$ 与 $\{Y\in h^{-1}(B)\}$，代回独立性的集合形式即可。

更一般地，相互独立的变量分成两组、且两组互不重叠时，每组变量构成的函数仍相互独立。例如 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 相互独立，则 $X_1+X_2$ 与 $X_3X_4$ 独立。

> [!WARNING]
> **共享变量的函数未必独立**
>
> 即使 $X$ 与 $Y$ 独立，$X+Y$ 与 $X-Y$ 都由这两个变量共同决定，不能直接断言它们独立。一般要回到联合分布重新判断，只有联合正态等额外条件成立时才能由不相关推出独立。

### 独立与不相关

当 $X,Y$ 的二阶矩都存在时，记

$$
\operatorname{Cov}(X,Y)=E\bigl[(X-E(X))(Y-E(Y))\bigr].
$$

若 $X$ 与 $Y$ 独立，则

$$
E(XY)=E(X)E(Y),\qquad \operatorname{Cov}(X,Y)=0.
$$

以连续型为例，独立时 $f=f_Xf_Y$，于是

$$
E(XY)=\iint xy\,f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy
=\left(\int x f_X(x)\,\mathrm dx\right)\left(\int y f_Y(y)\,\mathrm dy\right)=E(X)E(Y).
$$

协方差为零称为 $X$ 与 $Y$ **不相关**；当两个方差都为正时，这也等价于相关系数为零。独立一定不相关，反方向一般不成立。

取 $X$ 在 $[-1,1]$ 上均匀分布、$Y=X^2$，则 $E(X)=0$、$E(XY)=E(X^3)=0$，所以 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$；但 $Y$ 完全由 $X$ 决定，两者显然不独立。事件概率的验证见下面的例子。

> [!TIP]
> **联合正态是常用的例外**
>
> 若 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，则不相关与独立等价。仅有两个边缘都是正态分布还不够，必须要求 $(X,Y)$ 联合正态。

[来源：随机变量的独立性](/knowledge/maths/probability/random-variable-independence/#properties)

连续型的判定要把支持区域和公式一起看，离散型则回到二维表逐格核对。

## 学习安排

本章先讨论联合分布、边缘分布与条件分布，再引入独立性，所以判定独立性时要把联合分布和两个边缘分布放在一起比较。复习时按“写出联合分布 → 写出两个边缘分布 → 检查乘法关系”的顺序进行；连续型还要先看支持区域。

本节末尾的两条结论分别服务于后面的内容：独立变量的函数仍独立，是3.5中卷积公式与最值公式的前提；独立推出不相关，为4.3讨论相关系数提供基准。复习时把这两条与3.5、4.3对照，不要把“不相关”当成独立的判定条件。

## 课程约定

* 联合分布函数记作 $F(x,y)$，两个边缘分布函数记作 $F_X(x)$、$F_Y(y)$；通过自变量个数区分两者。
* 离散型用 $p_{ij}$ 表示联合分布律，边缘分布律记作 $p_{i\cdot}$ 与 $p_{\cdot j}$。
* 连续型的密度等式按“几乎处处成立”理解，不要求逐点相等；用密度否定独立时，要在有正面积的区域上找反例。
* “不相关”指协方差为零，讨论前先确认二阶矩存在。

## 重点

* 判定独立要覆盖全部取值，判定不独立只需一个反例；两者工作量不同，抽查几组不能当作证明。
* 连续型先检查支持区域能否分离，再检查密度公式能否写成乘积；只做后者容易误判。
* 不相关只是独立的必要条件，联合正态是反向成立的额外条件。

## 易错点

* 把“密度在非零区域能分解”当成独立；$0<x<y<1$ 上的均匀密度就是反例。
* 由协方差为零推出独立；$X\sim U[-1,1]$、$Y=X^2$ 是反例。
* 认为独立变量的任意函数都独立；共享变量的 $X+Y$ 与 $X-Y$ 不在此列。