# 3.5二维随机变量函数的分布

## 阅读入口

* [二维随机变量函数的分布](/knowledge/maths/probability/functions-of-bivariate-random-variables/)
* [二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/)（联合密度与区域积分）
* [边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/)（卷积的被积函数由两个边缘密度组成）
* [随机变量的独立性](/knowledge/maths/probability/random-variable-independence/)（卷积与最值公式的前提）
* [连续型随机变量](/knowledge/maths/probability/continuous-distributions/)（均匀、指数与正态的密度，本节例题反复用到）

## 分布函数法与二维函数的分布

设 $(X,Y)$ 是[二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/)，$g$ 是二元函数，$Z=g(X,Y)$。$Z$ 的分布函数为

$$
F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{g(X,Y)\le z\},\qquad z\in\mathbb R.
$$

先求 $F_Z$、再在可导处求导得到密度 $f_Z$，这一方法称为**分布函数法**。按 $(X,Y)$ 的类型，具体计算分两种：

* **离散型**：设 $p_{ij}=P\{X=x_i,\ Y=y_j\}$，则对满足条件的格子求和：
  $$
  F_Z(z)=\sum_{g(x_i,y_j)\le z}p_{ij}.
  $$
* **连续型**：设联合密度为 $f(x,y)$（即对任意平面区域 $D$，$P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$），则
  $$
  F_Z(z)=\iint_{D_z}f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy,\qquad D_z=\{(x,y):g(x,y)\le z\},
  $$
  积分区域取 $D_z$ 与联合密度支持集的交集。

连续型求出 $F_Z$ 后，在 $F_Z$ 可导的区间内求导即可，分段点单独讨论。先确定 $g(X,Y)$ 的取值范围，再写区域，能减少漏掉分段。

[来源：二维随机变量函数的分布](/knowledge/maths/probability/functions-of-bivariate-random-variables/#definition)

本节所有公式都要求先在支持集内定出 $g(X,Y)\le z$ 的区域；遇到复杂情形时直接回到定义重算。

## 和、最值与一般变换

### 和的分布与卷积

对一般的连续型 $(X,Y)$，不要求独立，由分布函数法

$$
F_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)\,\mathrm dy\right)\mathrm dx,
$$

对 $z$ 求导得

$$
f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,\mathrm dx.
$$

若 $X$ 与 $Y$ [相互独立](/knowledge/maths/probability/random-variable-independence/)，则 $f(x,z-x)=f_X(x)f_Y(z-x)$，上式成为**卷积公式**

$$
f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx.
$$

离散型独立、取整数值时，相应地

$$
P\{X+Y=k\}=\sum_i P\{X=i\}P\{Y=k-i\}.
$$

> [!WARNING]
> **卷积以独立为前提，积分限按支持集求交**
>
> 不独立时必须保留联合密度 $f(x,z-x)$。即使是独立情形，卷积积分的上下限也应由 $f_X(x)$ 与 $f_Y(z-x)$ 同时非零的条件求交得到，不能一律写成 $\pm\infty$。

### 最大值与最小值

设 $X$ 与 $Y$ 独立，$M=\max(X,Y)$，$m=\min(X,Y)$。“最大值不超过 $z$”等价于两个变量都不超过 $z$，所以

$$
F_M(z)=P\{X\le z,\ Y\le z\}=F_X(z)F_Y(z).
$$

“最小值大于 $z$”等价于两个变量都大于 $z$，所以

$$
F_m(z)=1-P\{X>z,\ Y>z\}=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)].
$$

对 $n$ 个独立同分布的连续型变量 $X_1,\dots,X_n$，记 $M=\max(X_1,\dots,X_n)$、$m=\min(X_1,\dots,X_n)$，公共分布函数为 $F$、密度为 $f$，则

$$
F_M(z)=F(z)^n,\qquad F_m(z)=1-[1-F(z)]^n,
$$

求导得

$$
f_M(z)=nF(z)^{n-1}f(z),\qquad f_m(z)=n[1-F(z)]^{n-1}f(z).
$$

> [!TIP]
> **记忆方式**
>
> 最大值不超过 $z$ 等于“全部不超过”，最小值大于 $z$ 等于“全部大于”。两个公式都用独立性把交事件概率写成乘积；不独立时不能这样拆。

### 商与积

在存在联合密度的情形，设 $f$ 为 $(X,Y)$ 的联合密度。

**积**：令 $U=X$、$V=XY$，反变换为 $x=u$、$y=v/u$，雅可比绝对值为 $1/|u|$，于是

$$
f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f\left(x,\frac{z}{x}\right)\mathrm dx,
$$

在 $x\ne 0$ 处使用。**商**：令 $U=Y$、$V=X/Y$，反变换为 $x=uv$、$y=u$，雅可比绝对值为 $|u|$，于是

$$
f_{X/Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f(zy,y)\,\mathrm dy.
$$

有联合密度时 $P\{X=0\}=P\{Y=0\}=0$，排除这两个单点不影响积分；但两式的积分范围仍受支持集约束，不能直接取全体实数。

### 一般二维变换

设 $(U,V)=T(X,Y)$ 是可逆的连续可微变换，反变换为 $x=x(u,v)$、$y=y(u,v)$。则 $(U,V)$ 的联合密度为

$$
f_{U,V}(u,v)=f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|.
$$

使用这个公式要做三件事：

1. 写出反变换，求出反变换的雅可比行列式并取绝对值；
2. 把联合密度的支持区域按反变换改写到 $(u,v)$ 平面上；
3. 反变换不唯一时，把各分支的密度分别算出后相加。

只求一个函数 $Z=g(X,Y)$ 的分布时，先补一个辅助变量（例如取 $U=X$ 或 $U=Y$）使变换可逆，求出 $(U,Z)$ 或 $(Z,V)$ 的联合密度，再对辅助变量积分消去它。上面的积、商公式都是这种做法。

> [!IMPORTANT]
> **雅可比与支持区域同样重要**
>
> 密度公式必须用反变换的雅可比并取绝对值；直接使用正变换的雅可比会得到错误结果。只换公式而不换支持区域，积分限也会错。多值反变换漏掉分支，会丢掉一部分概率。

[来源：二维随机变量函数的分布](/knowledge/maths/probability/functions-of-bivariate-random-variables/#properties)

卷积与最值公式都要把密度相乘，这一步只在独立时成立；商与积的公式不要求独立，但积分限同样受支持集约束。

## 学习安排

教材把分布函数法放在最前面，其余公式都是它在具体函数上的特化：和对应区域 $x+y\le z$，最大值、最小值对应交事件，商与积靠辅助变量化为可逆变换。建议按“分布函数法 → 和的卷积 → 最值 → 商、积与变换”的顺序阅读，每学一个公式都回到分布函数法核对区域和积分限。

卷积只处理独立变量之和；不独立时要退回联合密度。最大值与最小值要分清“不超过”和“大于”两种事件写法，否则容易把两个分布函数公式记反。

## 课程约定

* 记 $Z=g(X,Y)$，分布函数与密度分别记作 $F_Z$、$f_Z$；和、积、商分别用 $f_{X+Y}$、$f_{XY}$、$f_{X/Y}$ 表示。
* 积分元写作 $\mathrm dx$、$\mathrm dy$；二维变换的雅可比记作 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$，使用反变换并取绝对值。
* “卷积”专指独立变量之和的密度公式；对相关变量只写一般公式。

## 重点

* 分布函数法的步骤：写出 $P\{g(X,Y)\le z\}$，在支持集内确定区域，定积分限，最后求导。
* 最值的记忆方式：最大值不超过 $z$ 等价于全部变量不超过 $z$，最小值大于 $z$ 等价于全部变量大于 $z$。
* 只求一个函数时先构造辅助变量，凑成可逆变换，求出联合密度后再对辅助变量积分消去它。

## 易错点

* 卷积积分限不按两个密度的支持集求交，直接写成 $\pm\infty$。
* 变量不独立时仍套用卷积公式或最值的乘积公式。
* 变换后只替换密度，不改写支持区域；或者使用正变换的雅可比。
* 反变换不唯一时漏掉分支，只计算其中一支的密度。