# 3.6 n维随机变量

## 阅读入口

* [随机向量](/knowledge/maths/probability/random-vector/)
* [二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/)
* [分布函数](/knowledge/maths/probability/distribution-function/)

## n维随机向量与联合分布

设 $X_1,\ldots,X_n$ 是定义在同一概率空间上的随机变量。把它们组合为

$$
\boldsymbol X=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathsf T},
$$

称为 **$n$ 维随机向量**。一次试验的结果 $\omega$ 确定向量的每一个分量，得到 $\boldsymbol X(\omega)$。当 $n=2$ 时也称二维随机变量。

向量的整体概率规律可由[联合分布函数](/knowledge/maths/probability/joint-distribution-function/)描述；单独研究某个分量时，可求其[边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/)。

[来源：随机向量](/knowledge/maths/probability/random-vector/#definition)

对[随机向量](/knowledge/maths/probability/random-vector/) $\boldsymbol X=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathsf T}$，定义其**联合分布函数**为

$$
F(x_1,\ldots,x_n)=P\{X_1\le x_1,\ldots,X_n\le x_n\},
\qquad (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n.
$$

右端是各分量同时满足阈值条件的概率。离散分布通过累加满足条件的联合概率求出；有联合密度时，对相应区域积分。

[来源：联合分布函数](/knowledge/maths/probability/joint-distribution-function/#definition)

教材把 $\boldsymbol X$ 写成列向量；边缘密度通过对其余坐标积分得到，条件密度还需要用相应的边缘密度归一化。

## 相互独立

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，联合分布函数为 $F(x,y)=P\{X\le x,\ Y\le y\}$，两个边缘分布函数分别为 $F_X(x)=P\{X\le x\}$ 与 $F_Y(y)=P\{Y\le y\}$。若对任意实数 $x,y$ 都有

$$
F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),
$$

则称 $X$ 与 $Y$ **相互独立**。

分布函数等式等价于：对任意可测集合 $A,B$，

$$
P\{X\in A,\ Y\in B\}=P\{X\in A\}P\{Y\in B\}.
$$

按随机变量的类型，判定式可以写成下面的形式：

| 类型  | 记号                                                                                                                         | 判定式                                      |
| :-- | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :--------------------------------------- |
| 离散型 | 联合分布律 $p_{ij}=P\{X=x_i,\ Y=y_j\}$，边缘分布律 $p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij}$、$p_{\cdot j}=\sum_i p_{ij}$                             | 对所有 $i,j$，$p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$ |
| 连续型 | 联合密度 $f(x,y)$，边缘密度 $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dy$、$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx$ | $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 几乎处处成立             |

表中连续型的联合密度指满足 $P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$ 的非负函数，$D$ 为任意平面区域。联合分布与边缘分布的完整讨论分别见[二维联合分布函数](/knowledge/maths/probability/bivariate-random-variable/)和[边缘分布](/knowledge/maths/probability/marginal-distribution/)。

> [!IMPORTANT]
> **两个方向的工作量不对称**
>
> 证独立要检查所有取值：离散型要覆盖全部 $i,j$，连续型要验证几乎处处的密度等式。证不独立只需找到一处失败，例如某个 $i,j$ 使分布律的乘法关系不成立，或某个有正面积的区域上联合密度与边缘密度之积不相等。

### 多个随机变量的相互独立

$X_1,\ldots,X_n$ **相互独立**，当且仅当对任意 $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n$ 都有

$$
F(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}F_i(x_i).
$$

连续型相应地要求

$$
f(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^{n}f_i(x_i)
$$

几乎处处成立；离散型要求每个格点的联合分布律等于各边缘分布律之积。取 $n=2$ 就是两个随机变量相互独立的定义。

> [!WARNING]
> **两两独立不够**
>
> 两两独立只要求任意两个分量满足乘法关系，它推不出相互独立。涉及多个变量的乘积分解、卷积或样本联合密度时，都要先确认相互独立这个更强的条件，反例见下方例子。

[来源：随机变量的独立性](/knowledge/maths/probability/random-variable-independence/#definition)

这里的判定式与3.4完全同形，只是变量个数增加；连续型还要把密度写成 $n$ 个边缘密度的乘积。

## 多元正态分布

若 $\boldsymbol X$ 的任意线性组合 $\sum_i a_iX_i$ 都是正态变量或常数，则称 $\boldsymbol X$ 服从**多元正态分布**，记作

$$
\boldsymbol X\sim N_n(\boldsymbol\mu,\Sigma),
$$

其中 $\boldsymbol\mu=(E X_1,\ldots,E X_n)^{\mathsf T}$ 是均值向量，$\Sigma=\bigl(\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\bigr)_{n\times n}$ 是协方差矩阵。

[来源：多元正态分布](/knowledge/maths/probability/multivariate-normal/#definition)

对二维非退化情形，设 $\sigma_1,\sigma_2>0$、$|\rho|<1$，联合密度为

$$
\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}
\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}
\left[
\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}
-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}
+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}
\right]\right).
$$

此时两个边缘分布都是正态分布，条件分布也是正态分布：

$$
X\mid Y=y\sim N\left(\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),\ \sigma_1^2(1-\rho^2)\right).
$$

条件均值关于 $y$ 是线性的，条件方差与 $y$ 无关，只与 $\rho$ 和 $\sigma_1^2$ 有关。

> [!IMPORTANT]
> **两条容易混淆的性质**
>
> 联合正态向量各分量两两不相关，就相互独立，这是多元正态特有的性质，不能推广到一般的随机向量。反过来，仅知道各分量的边缘分布都是正态，不能推出联合分布是多元正态，因此也不能由相关系数为零推出两个变量独立。

> [!CAUTION]
> $|\rho|=1$ 时协方差矩阵退化，$(X,Y)$ 以概率 $1$ 落在一条直线上，上面的二维密度不存在，条件密度公式也不再适用。

[来源：多元正态分布](/knowledge/maths/probability/multivariate-normal/#properties)

3.6用 $N_n(\boldsymbol\mu,\Sigma)$ 记多元正态，4.4再把 $\Sigma$ 展开成协方差矩阵；两处记号从此统一，后面统计推断沿用同一写法。

## 学习安排

第3章先用一节建立二维随机变量，随后依次讨论边缘分布、条件分布、独立性，以及二维随机变量函数的分布，这些内容都在二维框架内展开。3.6把前面几节的结论推广到 $n$ 维：联合分布、边缘分布、条件分布、独立性、独立变量和的分布逐项对应，多重积分和多变量求和替代二重情形。

因此复习时按“二维结论 → n维写法”对照，比重新背一遍n维公式省力。多元正态是推广中最需要单独交代的对象：二维非退化时密度可以写出，n维时改用均值向量与协方差矩阵刻画。

数字特征部分会把 $N_n(\boldsymbol\mu,\Sigma)$ 中的 $\Sigma$ 展开成协方差矩阵，后面的协方差与协方差矩阵沿用这里的记号。

## 课程约定

* 随机向量写成列向量 $\boldsymbol X=(X_1,\ldots,X_n)^{\mathsf T}$；联合分布函数记 $F(x_1,\ldots,x_n)$，边缘分布函数、边缘密度带下标，如 $F_i$、$f_i$。
* 教材以“联合分布函数等于各边缘分布函数之积”作为相互独立的定义，连续型再改写为密度几乎处处分解。
* 多元正态记作 $N_n(\boldsymbol\mu,\Sigma)$；只有 $\sigma_1,\sigma_2>0$、$|\rho|<1$ 时才写出二维密度。

## 重点

* 独立变量和的三个结论（二项、泊松、正态的线性组合）在本章之后反复使用，其中正态的线性组合结论是后面极限定理计算的基础。
* 判断n个变量是否相互独立，先看联合分布函数能否分解为各边缘分布函数之积；连续型再检查密度是否几乎处处分解。
* 多元正态的两条性质要能复述：两两不相关即相互独立；边缘为正态不能推出联合正态。

## 易错点

* 两两独立不能推出相互独立。涉及多个变量的乘积分解、卷积或样本联合密度时，都要先确认相互独立。
* 二项分布的可加性要求成功概率相同；$p$ 不同时和一般不再是二项分布，也不能把两个 $p$ 取平均。
* 正态变量的线性组合要求方差之和非零，否则和是常数；“两两不相关即独立”只在联合正态下成立。
* $|\rho|=1$ 时协方差矩阵退化，$(X,Y)$ 落在一条直线上，二维密度与条件密度公式都不适用。
* 密度比公式要求分母处的边缘密度为正；密度为零的点上不能直接使用这个比值。

## 复习要点

推广到n维时容易只抄公式而漏条件。复习时对每条结论都写出“独立性要求 + 参数条件”，再核对一遍：二项要同 $p$，泊松只要求独立，正态要检查方差之和是否为零。